A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre. I. megoldás. Tekintsük a feladatot megoldottnak. Jelöljük a háromszög csúcsait -vel, a négyzetek középpontjait pedig , , -vel (1. ábra).
1. ábra Az és a szakaszok egyenlő hosszúak és egymásra merőlegesek. (Ennek bizonyítása megtalálható pl. a Geometriai feladatok gyűjteménye I. kötetének 3151. feladatában.) Ezt felhasználva a szerkesztés: -ből merőlegest állítunk -ra, majd a merőleges egyenesre -ből felé felmérjük az szakasz hosszát. Ennek -től különböző végpontja a háromszög csúcsa. -t körül -kal elforgatva kapjuk -t, -t körül -kal elforgatva pedig -t. Belátható, hogy az így szerkesztett háromszög oldalaira kifelé írt négyzetek középpontjai pontosan akkor esnek egybe -vel, ha az háromszög hegyesszögű. Tehát a feladatnak egy megoldása van, ha az háromszög hegyesszögű, egyébként pedig nincs megoldása.
II. megoldás. Használjuk az I. megoldás jelöléseit. Az körüli -os forgatás -t -be, az körüli -os elforgatás -t -be, a körüli -os forgatás pedig -t -ba viszi. Vagyis a három forgatás egymásutánjának fixpontja. Megmutatjuk, hogy a három forgatás egymásutánja megegyezik egyetlen pont körüli elforgatással, aminek egy fixpontja van: a középpont, tehát csak ez lehet a háromszög csúcsa.
2. ábra Ismert, hogy egy pont körüli, szögű elforgatás helyettesíthető két olyan tengelyes tükrözés egymásutánjával, amelyek tengelyei egymást az adott pontban metszik, és egymással szöget zárnak be. Ha tehát az a pont, amelyre az háromszög pozitív körüljárású, és (2. ábra), akkor az és körüli forgatások egymásutánja helyettesíthető az , , , egyenesekre való tükrözések egymásutánjával. Viszont e négy tükrözés közül a két középső tengely ugyanaz, ezért a négy tükrözés egymásutánja megegyezik az és az egyenesekre való tükrözések egymásutánjával, ami viszont nem más, mint az pont körüli -os elforgatás. (Ebből következik, hogy az szakasz felezőpontja, a szerkesztés ezt felhasználva is befejezhető.) Ezután ugyanezzel a módszerrel meg tudjuk szerkeszteni az és körüli elforgatások egymásutánját: legyen az a pont, amelyre az háromszög pozitív körüljárású, és . Ekkor az körüli -os és a körüli -os forgatások helyettesíthetők az , , , tengelyekre való tükrözéssel, vagyis az és a egyenesekre való tükrözéssel, ami egy körüli forgatás, tehát egyetlen fixpontja . |