Feladat: Gy.2772 Korcsoport: 16-17 Nehézségi fok: átlagos
Füzet: 1992/november, 386 - 387. oldal  PDF  |  MathML 
Témakör(ök): Tengelyes tükrözés, Pont körüli forgatás, Transzformációk fixpontjai, fixalakzatai, Transzformációk szorzata, Háromszögek szerkesztése, Gyakorlat
Hivatkozás(ok):Feladatok: 1992/április: Gy.2772

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

I. megoldás. Tekintsük a feladatot megoldottnak. Jelöljük a háromszög csúcsait A,B,C-vel, a négyzetek középpontjait pedig X, Y, Z-vel (1. ábra).

 
 

1. ábra
 

Az XY és a CZ szakaszok egyenlő hosszúak és egymásra merőlegesek. (Ennek bizonyítása megtalálható pl. a Geometriai feladatok gyűjteménye I. kötetének 3151. feladatában.) Ezt felhasználva a szerkesztés: Z-ből merőlegest állítunk XY-ra, majd a merőleges egyenesre Z-ből XY felé felmérjük az XY szakasz hosszát. Ennek Z-től különböző végpontja a háromszög C csúcsa. C-t Y körül -90∘-kal elforgatva kapjuk A-t, C-t X körül +90∘-kal elforgatva pedig B-t.
Belátható, hogy az így szerkesztett ABC háromszög oldalaira kifelé írt négyzetek középpontjai pontosan akkor esnek egybe X,Y,Z-vel, ha az XYZ háromszög hegyesszögű. Tehát a feladatnak egy megoldása van, ha az XYZ háromszög hegyesszögű, egyébként pedig nincs megoldása.
 

II. megoldás. Használjuk az I. megoldás jelöléseit. Az Y körüli +90∘-os forgatás A-t C-be, az X körüli +90∘-os elforgatás C-t B-be, a Z körüli +90∘-os forgatás pedig D-t A-ba viszi. Vagyis a három forgatás egymásutánjának A fixpontja. Megmutatjuk, hogy a három forgatás egymásutánja megegyezik egyetlen pont körüli elforgatással, aminek egy fixpontja van: a középpont, tehát csak ez lehet a háromszög A csúcsa.
 
 

2. ábra
 

Ismert, hogy egy pont körüli, α szögű elforgatás helyettesíthető két olyan tengelyes tükrözés egymásutánjával, amelyek tengelyei egymást az adott pontban metszik, és egymással α2 szöget zárnak be. Ha tehát F az a pont, amelyre az FXY háromszög pozitív körüljárású, és FYX∢=YXF∢=45∘ (2. ábra), akkor az Y és X körüli forgatások egymásutánja helyettesíthető az FY, YX, YX, XF egyenesekre való tükrözések egymásutánjával. Viszont e négy tükrözés közül a két középső tengely ugyanaz, ezért a négy tükrözés egymásutánja megegyezik az FY és az XF egyenesekre való tükrözések egymásutánjával, ami viszont nem más, mint az F pont körüli 2⋅YFX∢=2⋅90∘=180∘-os elforgatás. (Ebből következik, hogy F az AB szakasz felezőpontja, a szerkesztés ezt felhasználva is befejezhető.) Ezután ugyanezzel a módszerrel meg tudjuk szerkeszteni az F és Z körüli elforgatások egymásutánját: legyen A az a pont, amelyre az AZF háromszög pozitív körüljárású, és AFZ∢=90∘,FZA∢=45∘. Ekkor az F körüli 180∘-os és a Z körüli +90∘-os forgatások helyettesíthetők az AF, FZ, FZ, ZA tengelyekre való tükrözéssel, vagyis az AF és a ZA egyenesekre való tükrözéssel, ami egy A körüli forgatás, tehát egyetlen fixpontja A.