Kezdőlap


Feladat:	Gy.2770	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Füzet:	1992/október, 311 - 312. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Síkgeometriai számítások trigonometria nélkül sokszögekben, Szabályos sokszögek geometriája, Középponti és kerületi szögek, Alakzatok szimmetriái, Gyakorlat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1992/április: Gy.2770

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Legyenek a 18-szög csúcsai rendre $A_{1}$ , $A_{2}$ , $...$ , $A_{18}$ . Megmutatjuk, hogy pl. az $A_{2} A_{12}$ , $A_{8} A_{18}$ és $A_{5} A_{16}$ átlók egy ponton mennek át.

Legyen az

A_{2} A_{12}

és az

A_{8} A_{18}

átlók metszéspontja

N

, az

A_{5} A_{16}

és az

A_{8} A_{18}

átlók metszéspontja pedig

M

. A szabályos 18-szög egy oldalához tartozó középponti szög

\frac{360^{\circ}}{18} = 20^{\circ}

-os, így az egy oldalhoz tartozó kerületi szög

10^{\circ}

, vagyis

k

darab egymáshoz csatlakozó oldalhoz tartozó kerületi szög

k \cdot 10^{\circ}

. Ezért

A_{2} A_{18} A_{8} ∢ = 6 \cdot 10^{\circ} = 60^{\circ}

és

A_{12} A_{2} A_{18} ∢ = 6 \cdot 10^{\circ} = 60^{\circ}

, az

A_{2} A_{18} N

háromszög két szöge

60^{\circ}

, a háromszög szabályos,

A_{18} N = A_{18} A_{2}

. Másrészt

A_{18} A_{16} A_{5} ∢ = 5 \cdot 10^{\circ} = 50^{\circ}

és

A_{16} A_{18} A_{8} ∢ = 8 \cdot 10^{\circ} = 80^{\circ}

miatt az

A_{18} M A_{16}

háromszögben

\begin{matrix} A_{16} M A_{18} ∢ = 180^{\circ} - (A_{16} A_{18} M ∢ + A_{18} A_{16} M ∢) = \end{matrix}

\begin{matrix} 180^{\circ} - (80^{\circ} + 50^{\circ}) = 50^{\circ} = A_{18} A_{16} M ∢, \end{matrix}

azaz az

A_{18} A_{16} M

háromszög egyenlő szárú,

A_{18} M = A_{16} A_{18}

. Viszont a szabályos

18

-szög másodszomszédos csúcsait összekötő átlók nyilván egyenlők, ezért

A_{18} M = A_{16} A_{18} = A_{18} A_{2} = A_{18} N

, tehát

M \equiv N

. Ez éppen azt jelenti, hogy a három átló egy ponton megy át (s egyikük sem szimmetriatengely).

Megjegyzések. 1. A sokszög szimmetriája miatt az

A_{4} A_{15}

átló is átmegy az N ponton.
2. Az

N

pontnak a sokszög középpontja körüli

l \cdot 20^{\circ}

-os elforgatottjai is a feltételnek megfelelő pontok.