Először a következő segédtételt igazoljuk: egy természetes számokból álló (végtelen) sorozatnak van monoton növő (végtelen) részsorozata. A bizonyításhoz arra van szükségünk, hogy a természetes számok ún. jólrendezett halmazt alkotnak ^{${}^{*}$} : azaz a természetes számok minden nemüres részhalmazának van legkisebb eleme.
Legyen tehát $\left\{s_n\right\}$ egy említett típusú sorozat, tekintsük a sorozat értékeinek halmazában a legkisebb elemet, majd a hozzá tartozó indexek közül is a legkisebbet: így jutunk az $s_k$ elemekhez (kétszer is használtuk a jólrendezettséget). Ezután a $k_1$-nél nagyobb indexű elemek közül választjuk ki hasonlóan az $s_{k_2}$ elemet, stb. Látható, hogy az $\left\{s_{k_i}\right\}$ sorozat megfelelő; a segédtételt beláttuk.
Visszatérve az eredeti feladathoz, nézzük a három sorozatból először $\left\{a_i\right\}$-t: válasszunk ki belőle egy monoton növő részsorozatot, legyen ez $\left\{a{\text{'}}_i\right\}$. A $\left\{b_i\right\}$ és $\left\{c_i\right\}$ sorozatokból is csak az $\left\{a{\text{'}}_i\right\}$-ben szereplő indexeket hagyjuk meg, legyenek ezek a $\left\{b{\text{'}}_i\right\}$, $\left\{c{\text{'}}_i\right\}$ sorozatok. Ezáltal három, természetes számokból álló végtelen sorozatot kapunk, de ez az $\left\{a{\text{'}}_i\right\}$ már monoton növő. Az eljárást $\left\{b{\text{'}}_i\right\}$-re, majd az ezután létrejövő $\left\{c\text{'}{\text{'}}_i\right\}$-re megismételve, $\left\{a{\text{'}\text{'}\text{'}}_i\right\}$, $\left\{b{\text{'}\text{'}\text{'}}_i\right\}$, $\left\{c{\text{'}\text{'}\text{'}}_i\right\}$ monoton részsorozatokhoz jutunk.
Így már tetszőleges olyan $q<p$-re, amelyre $q$ és $p$ benne van a megmaradt indexhalmazban, $a_q\le a_p$, $b_q\le b_p$, $c_q\le c_p$ teljesül.