Kezdőlap


Feladat:	Gy.2767	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Bajszi István , Kun Éva , Petró Gábor , Révai András , Szabó Attila
Füzet:	1992/november, 385 - 386. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Irracionális egyenletrendszerek, Szöveges feladatok, Gyakorlat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1992/április: Gy.2767

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Jelölje $x$ a hajóskapitány mostani életkorát, $y$ pedig a hajóét (természetesen itt és a továbbiakban is években kifejezve értjük az életkort). Jelölje $3 z$ a hajó akkori életkorát, amikor a kapitány $2 y$ éves lesz. A feladat szövege alapján a kapitány $z$ éves volt akkor, amikor a hajó $\sqrt[]{x}$ . Áttekintve az előfordult három időpontot és a hozzájuk tartozó életkorokat:

\begin{matrix} \begin{matrix} ,,most'' & ,,jövő'' & ,,múlt'' \\ kapitány & x & 2 y & z \\ hajó & y & 3 z & \sqrt[]{x} \end{matrix} \end{matrix}

Tudjuk, hogy

x + y = 63

. Továbbá nyilvánvaló, hogy a kapitány és a hajó életkora között a különbség állandó, azaz

\begin{matrix} 2 y - 3 z = z - \sqrt[]{x} = x - y . \end{matrix}

Ezekből az összefüggésekből írunk fel egyenletet

\sqrt[]{x}

-re. Az

x + y = 63

és az

x - y = z - \sqrt[]{x}

egyenletet összeadva és

z

-re rendezve

\begin{matrix} z = 2 x + \sqrt[]{x} - 63 \end{matrix}

adódik. Ezt összevetve

2 y - 3 z = x - y

-nal,

\begin{matrix} y = \frac{x + 3 z}{3} = \frac{7 x + 3 \sqrt[]{x} - 189}{3} . \end{matrix}

Végül az

x + y = 63

egyenlet alapján

\begin{matrix} x + \frac{7 x + 3 \sqrt[]{x} - 189}{3} = 63, \end{matrix}

rendezve

\begin{matrix} 10 x + 3 \sqrt[]{x} - 378 = 0 \end{matrix}

egyenletet kapjuk. A bal oldal könnyen szorzattá alakítható:

(\sqrt[]{x} - 6) (10 \sqrt[]{x} + 63)

, amiből

\sqrt[]{x} \geq 0

alapján csak

\sqrt[]{x} = 6

, azaz

x = 36

adódik megoldásnak. Tehát a kapitány

36

, hajója pedig

27

éves. Ez valóban helyes megoldás, és mint láttuk, az egyetlen lehetséges is.

Bajszi István (Bonyhád, Petőfi S. Gimn., II. o. t.) megoldása alapján