Kezdőlap


Feladat:	Gy.2761	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: könnyű
Megoldó(k):	Faragó Gergely , Győrffy Werner
Füzet:	1992/október, 310. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Másodfokú diofantikus egyenletek, Indirekt bizonyítási mód, Szorzat, hatvány számjegyei, Oszthatóság, Maradékos osztás, kongruenciák, Gyakorlat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1992/március: Gy.2761

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Megmutatjuk, hogy az egyenletnek nincsen egész megoldása. Ehhez feltesszük, hogy valamely $(x, y, z)$ számhármasra mégis teljesül az egyenlőség, majd ebből ellentmondásra jutunk.
Az egyenletet

\begin{matrix} x^{2} - 2 y^{2} = 77 - 363 z^{2} = 11 \cdot (7 - 33 z^{2}) \end{matrix}

(1)

alakra hozva látható, hogy

11 | x^{2} - 2 y^{2}

. Vizsgáljuk meg, hogy egy egész szám négyzete 11-gyel osztva milyen maradékot adhat.
Legyen

x = 11 k + l

alakú, ahol

k

egész,

l = 0; \pm 1; \pm 2; \pm 3; \pm 4; \pm 5.

Ekkor

x^{2} = 11^{2} k^{2} + 22 k l + l^{2} = 11 \cdot (11 k^{2} + 2 k l) + l^{2}

, vagyis a maradék megegyezik

l^{2}

maradékával. A lehetséges értékek tehát 0; 1; 4; 9; 16; 25, azaz 0; 1; 4; 9; 5; 3. Ebből következik, hogy

2 y^{2}

maradéka 0; 2; 8; 7; 10; 6 lehet. A két diszjunkt számhalmazból látható, hogy

x^{2} - 2 y^{2}

csak úgy lehet

11

-gyel osztható, ha

x^{2}

és

2 y^{2}

, s így

x

és

y

is osztható 11-gyel. Ezt (1)-gyel összevetve kapjuk, hogy

11^{2} | 11 (7 - 33 y)

, azaz

11 | 7 - 33 y

. Ez azonban lehetetlen, hiszen

11 | 33 y

, de

11 | 7

. Ellentmondásra jutottunk, tehát egyenletünknek valóban nincs megoldása az egész számok körében.

Győrffy Werner (Veszprém, Lovassy L. Gimn., III. o. t.) dolgozata alapján