Kezdőlap


Feladat:	Gy.2759	Korcsoport: 14-15	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Tarján Dénes
Füzet:	1992/október, 308 - 309. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Másodfokú diofantikus egyenletek, Konstruktív megoldási módszer, Gyakorlat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1992/március: Gy.2759

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Ha $k$ páratlan, akkor minden $z$ páratlan természetes számhoz $x = y + 1$ alakban keresünk megoldást:

\begin{matrix} {(y + 1)}^{2} - y^{2} = 2 y + 1 = k \cdot z^{2}, \end{matrix}

azaz

y = \frac{k z^{2} - 1}{2}

, ami valóban egész szám. Így minden páratlan

z

-hez találtunk egy

(y + 1

y

z)

megoldást, s ezek "lényegesen különböznek'' különböző

z

-k esetén.
Ha

k \neq 0

és páros, akkor a páros

z

-kre keresünk

x = y + 2

alakú megoldásokat:

\begin{matrix} {(y + 2)}^{2} - y^{2} = 4 (y + 1) = k z^{2}, \end{matrix}

azaz

y = \frac{k z^{2} - 4}{4}

, egész szám. Tehát minden páros

z

-re megadtunk egy

(y + 2

y

z)

megoldást, ezek is lényegesen különbözőek.
Ha

k = 0

, akkor tetszőleges

z

-re pl.

(1, 1, z)

megoldás, és ezek lényegesen különböznek.
Ezzel minden

k

-ra megadtunk végtelen sok megoldást.

Tarján Dénes (Bp. Piarista Gimn., II. o. t.) dolgozata alapján