A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre. I. megoldás. Ismert, hogy egy tetszőleges háromszög oldalai és súlyvonala közt a szokásos jelöléseket használva fennáll a következő összefüggés: . (Ennek bizonyítása megtalálható pl. a Geometriai feladatok gyűjteménye I. kötetének 1673. feladatában).
1. ábra
2. ábra Legyen az szakasz felezőpontja , a szakasz felezőpontja pedig . A súlyvonalra vonatkozó összefüggést az , és háromszögekre felírva:
(1)-et és (2)-t összeadva, majd ebbe helyettesítve (3)-at, kapjuk, hogy | | Átrendezve: | |
Mivel az háromszög tompaszögű, azért , tehát a bal oldalon álló kifejezés pozitív; ezért az egyenlőség jobb oldalán álló kifejezés is az, vagyis . Hegedűs Márton (Nyíregyháza, 1. sz. Gyak. ÁIt. Isk., 8. o. t.) dolgozata alapján
II. megoldás. Vektorok skaláris szorzatát használva oldjuk meg a feladatot. | | | | | | Mivel az háromszögben -nél tompaszög van, azért , vagyis <+. Ez éppen a bizonyítandó állítás. Székelyhidi László (Debrecen, Tóth Á. Gimn., I. o. t.) dolgozata alapján
Megjegyzés. A II. megoldásban nem használtuk ki, hogy a pont benne van az síkban. |
|