A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre. I. megoldás. Jelöljük a -szög csúcsait , , , , -nel, középpontját pedig -val. Tekintsük az átlót . Az háromszög pontosan akkor tartalmazza -t, ha az és az egyenesek által meghatározott négy síknegyed közül az szakaszt tartalmazóval szemköztiben van. Az egyenes a sokszög , az egyenes pedig a sokszög oldalát metszi, tehát pontosan akkor jó háromszög, ha (1. ábra). Ezért rögzített esetén a jó háromszögek száma . Vagyis az -t tartalmazó jó háromszögek száma .
1. ábra Nyilván ugyanennyi jó háromszög tartalmazza a -szög tetszőleges, rögzített csúcsát. Ezért megegyezik a jó háromszögek számának háromszorosával, hiszen minden jó háromszöget mindhárom csúcsánál számoltunk. Tehát a jó háromszögek száma II. megoldás. A -szög csúcsai összesen háromszöget határoznak meg. A jó háromszögek számát megkapjuk, ha ebből levonjuk azon (rossz) háromszögek számát, amelyek nem tartalmazzák a sokszög középpontját. Ezeket a háromszögeket a következőképp számoljuk össze.
2. ábra Betűzzük meg a háromszög csúcsait , , -vel úgy, hogy legyen a leghosszabb oldal, és a háromszög körüljárása negatív legyen (ekkor az egyenes elválasztja -t a sokszög középpontjától, 2. ábra). Minden rossz háromszöghöz egyértelműen tartozik egy betűzés. Ha -t rögzítjük, akkor a sokszög után negatív körüljárási irányban következő csúcsa közül bármelyik kettőt kiválasztva kapunk egy rossz háromszöget, s minden olyan rossz háromszöget megkapunk így, amelynek csúcsa a rögzített csúcs. Ezen háromszögek száma tehát -féleképpen rögzíthetjük, így a rossz háromszögek száma . A jó háromszögek száma:
György András (Budapest, Árpád Gimn., II. o. t.) dolgozata alapján
|