A bizonyítást többféle módon is végezhetjük. Kiszámolhatjuk $f\left(f\left(f\left(x\right)\right)\right)-x$-et,majd az így kapott nyolcadfokú egyenletet megoldjuk (könnyen felírhatjuk első és harmadfokú tényezők szorzataként). Az is elegendő, ha mutatunk csatlakozó intervallumokat, ahol a függvény előjelet vált. Most egy egyszerűbb, de legalábbis kevésbé számolós megoldást mutatunk.
Ha $\left|x\right|=2+\alpha$, ahol $\alpha >0$, akkor $f\left(x\right)={\left(2+\alpha \right)}^2-2=2+\alpha +\left(3\alpha +{\alpha }^2\right)>2+\alpha =\left|x\right|$, azaz $\left|x\right|>2$ esetén $f\left(x\right)>\left|x\right|$, s így $f\left(f\left(f\left(x\right)\right)\right)>f\left(f\left(x\right)\right)>f\left(x\right)>x$. Elegendő tehát a $\left[-2;2\right]$ intervallumot vizsgálni.

1. ábra

2. ábra

3. ábra