Kezdőlap


Feladat:	Gy.2750	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Kobazek András
Füzet:	1992/szeptember, 263. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Másodfokú diofantikus egyenletek, Kombinatorikai leszámolási problémák, Kombinációk, Gyakorlat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1992/február: Gy.2750

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

A ping-pongban nincsen döntetlen, tehát minden egyes mérkőzést valaki megnyert. A mérkőzések száma a következőképpen oszlott meg. Az olyan mérkőzések száma, ahol két ázsiai játszott egymással, éppen $\frac{n (n - 1)}{2}$ ; az ilyen mérkőzéseken mindenképpen ázsiai nyert. Az európaiak egymás között $\frac{2 n (2 n - 1)}{2}$ mérkőzést játszottak; ezeken biztos, hogy európai nyert. A "vegyes'' mérkőzések száma $2 n \cdot n = 2 n^{2}$ . Tegyük fel, hogy ebből $x$ -szer nyert európai és $2 n^{2} - x$ -szer ázsiai.
A feltétel szerint

\begin{matrix} \frac{5}{7} \cdot (\frac{n (n - 1)}{2} + 2 n^{2} - x) = \frac{2 n (2 n - 1)}{2} + x \end{matrix}

teljesül; rendezés után ebből

\begin{matrix} n (3 - n) = 8 x \end{matrix}

adódik.
Tudjuk, hogy

n > 0

és

x

nem negatív egész. Utóbbi miatt

n \leq 3

, azaz csak

n

=1, 2, 3 lehetséges. Ezek közül viszont egyedül

n = 3

esetén lesz

n (3 - n)

osztható 8-cal. Tehát

n = 3

, azaz a versenyen kilencen indultak.

Kobazek András (Miskolc, Földes F. Gimn. II. o. t.) dolgozata alapján