Kezdőlap


Feladat:	Gy.2749	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Jurek Zoltán
Füzet:	1992/május, 212 - 213. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Poliéderek hasonlósága, Térfogat, Térgeometriai számítások trigonometria nélkül, Tetraéderek, Gyakorlat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1992/január: Gy.2749

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Jelöljük a keletkezett kis tetraéderek csúcsait az ábrán látható módon $M, R, S,$ illetve $M, P, Q$ -val ( $M$ az eredeti $A B C D$ tetraéder $A B$ élének egy pontja). Mivel az eredeti tetraédert egy-egy lapjával párhuzamos síkokkal metszettük el, azért a kapott kis tetraéderek az eredetivel, s így egymással is hasonlók.

Tudjuk, hogy hasonló poliéderek térfogatainak aránya megegyezik megfelelő éleik arányának köbével. Azaz:

\begin{matrix} \frac{1}{8} = \frac{V_{A M R S}}{V_{M B P Q}} = {(\frac{A M}{M B})}^{3}, \frac{A M}{M B} = \frac{1}{2} . \end{matrix}

Ebből meghatározhatjuk a legkisebb és az eredeti tetraéder egy-egy megfelelő élének arányát:

\begin{matrix} \frac{A B}{A M} = \frac{A M}{A M} + \frac{M B}{A M} = 1 + 2 = 3. \end{matrix}

Ezért a két tetraéder térfogatának aránya:

\begin{matrix} \frac{V_{A B C D}}{V_{A M R S}} = {(\frac{A B}{A M})}^{3} = 27. \end{matrix}

A M R S

tetraéder térfogata

1 {cm}^{3}

, tehát az

A B C D

tetraéder térfogata

27 {cm}^{3} .

Megjegyzés. Ha a két kis tetraéder térfogata

V_{1}

és

V_{2}

, akkor az eredeti tetraéder térfogata

\begin{matrix} V_{1} \cdot (1 + \sqrt[3]{\frac{V_{2}}{V_{1}}})^{3} = V_{1} + 3 \sqrt[3]{V_{1} \cdot V_{2}^{2}} + 3 \sqrt[3]{V_{1}^{2} \cdot V_{2}} + V_{2} . \end{matrix}

Jurek Zoltán (Debrecen, Fazekas M. Gimn., II. o. t.) dolgozata alapján