Kezdőlap


Feladat:	Gy.2745	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: nehéz
Megoldó(k):	Csorba Péter , Dombi Gergely , Faragó Gergely , Győrffy Werner , György András , Hegedűs Márton , Imreh Csanád , Kálmán Tamás , Marx Gábor , Megyesi Zoltán , Révai András , Szeredi Tibor , Ujváry-Menyhárt Mónika , Vörös Zoltán
Füzet:	1992/szeptember, 261 - 262. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Algebrai átalakítások, Számkörök, Konstruktív megoldási módszer, Gyakorlat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1992/január: Gy.2745

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Először két olyan művelet elvégzésére mutatunk eljárást, amelyet a továbbiakban gyakran fogunk használni.
1. Egy $x$ kiindulási szám és egy racionális szám szorzása.
Legyen a racionális szám $\frac{p}{q}$ , ahol $p$ egész, $q$ pozitív egész szám. Ekkor

\begin{matrix} \frac{x}{q} = \frac{1}{q \cdot \frac{1}{x}} = {\underset{︸}{\frac{1}{\frac{1}{x} + \frac{1}{x} + ... + \frac{1}{x}}}}_{q}^{}, így \frac{∣ p ∣ \cdot x}{q} = {\underset{︸}{\frac{x}{q} + \frac{x}{q} + ... + \frac{x}{q}}}_{∣ p ∣}^{} . \end{matrix}

p

negatív szám, akkor ugyanezt

- x = (x - x - x)

-szel hajtjuk végre.
2. Egy

x

szám köbének kiszámítása:

\begin{matrix} x^{3} = \frac{x^{3} - x}{1} + x = \frac{1}{\frac{x^{2} + 1 - x^{2}}{x^{3} - x}} + x = \frac{1}{\frac{x}{x^{2} - 1} - \frac{1}{x}} + x = \frac{1}{\frac{1}{x - \frac{1}{x}} - \frac{1}{x}} + x . \end{matrix}

Most megadunk egy eljárást, amellyel bármely

\sqrt[]{x} + y

alakú számból (

x, y

racionális számok,

y \neq 0

y^{2} \neq x

) előállítható az 1. (Az

x = 19, y = 92

választással az a) feladatot oldjuk meg.) Az előzőek szerint kiszámíthatjuk

{(\sqrt[]{x} + y)}^{3}

-t, majd ebből

(x + 3 y^{2})

-szer (ez egy racionális szám) levonjuk

(\sqrt[]{x} + y)

-t:

\begin{matrix} {(\sqrt[]{x} + y)}^{3} - (x + 3 y^{2}) (\sqrt[]{x} + y) = \end{matrix}

\begin{matrix} x \sqrt[]{x} + 3 x y + 3 y^{2} \sqrt[]{x} + y^{3} - x \sqrt[]{x} - x y - 3 y^{2} \sqrt[]{x} - 3 y^{3} = 2 x y - 2 y^{3} = 2 y (x - y^{2}) . \end{matrix}

Ez egy nullától különböző racionális szám, jelölje

\frac{q}{p}

. Megszorozzuk

\frac{p}{q}

-val, s így megkapjuk az 1-et.
A következőkben

\sqrt[19]{x}

alakú számból állítjuk elő az 1-et ( b) eset). (

x

nullától különböző racionális szám.) Kiszámítjuk először

\begin{matrix} (... ((\sqrt[19]{x} {\underset{︸}{)^{3})^{3} ...)^{3}}}_{7-szer}^{} = \sqrt[19]{x^{(3^{7})}} = \sqrt[19]{x^{2187}} = \sqrt[19]{x^{115 \cdot 19} \cdot x^{2}} = x^{115} \cdot \sqrt[19]{x^{2}} \end{matrix}

értékét. Mivel

x^{115} \neq 0

racionális szám, azért ezt

x^{- 115}

-nel szorozva

\sqrt[19]{x^{2}}

-et kapjuk. Ezután

\begin{matrix} \frac{1}{\sqrt[19]{x} - \sqrt[19]{x^{2}}} - \frac{1}{\sqrt[19]{x} + \sqrt[19]{x^{2}}} = \frac{2 \sqrt[19]{x^{2}}}{\sqrt[19]{x^{2}} - \sqrt[19]{x^{4}}} = \frac{2}{1 - \sqrt[19]{x^{2}}} \end{matrix}

reciprokának kétszeresét véve

(1 - \sqrt[19]{x^{2}})

-hez jutunk, ehhez adjuk még hozzá

\sqrt[19]{x^{2}}

-et.
A c) esetben először megmutatjuk, hogy ha

x

és

y

olyan racionális számok, melyek négyzetgyöke irracionális, akkor

a \sqrt[]{x} + b \sqrt[]{y}

alakú számokból (

a, b

racionálisak) csak ugyanilyen alakú számot kaphatunk. Az összeadásra és kivonásra ez ekvivalens. Vizsgáljuk a reciprokképzést (

a^{2} + b^{2} \neq 0

esetén):

\begin{matrix} \frac{1}{a \sqrt[]{x} + b \sqrt[]{y}} = & \frac{a \sqrt[]{x} - b \sqrt[]{y}}{(a \sqrt[]{x} + b \sqrt[]{y}) (a \sqrt[]{x} - b \sqrt[]{y}} = \frac{a \sqrt[]{x} - b \sqrt[]{y}}{a^{2} x - b^{2} y} = \\ \frac{a}{a^{2} x - b^{2} y} \sqrt[]{x} + \frac{b}{b^{2} y - a^{2} x} \sqrt[]{y} . \end{matrix}

a \sqrt[]{x} - b \sqrt[]{y} = 0

, akkor nem bővíthetünk vele. Ám ekkor

\sqrt[]{x} = \frac{b}{a} \sqrt[]{y}

(ha

a = 0

, akkor

b

is nulla lenne), így

a \sqrt[]{x} + b \sqrt[]{y} = a (\frac{b}{a} \sqrt[]{y}) + b \sqrt[]{y} = 2 b \sqrt[]{y}

, és ennek reciproka

\frac{1}{2 b \sqrt[]{y}} = \frac{1}{2 b y} \cdot \sqrt[]{y}

, szintén

c \sqrt[]{x} + d \sqrt[]{y}

alakú.
Végül belátjuk, hogy az 1 nem áll elő ilyen alakban; vagyis ebben az esetben a válasz nemleges. Tegyük fel ugyanis, hogy

1 = a \sqrt[]{x} + b \sqrt[]{y}

, alkalmas

a

és

b

racionális számokkal. Ekkor

{(1 - a \sqrt[]{x})}^{2} = b^{2} y

, azaz

1 - 2 a \sqrt[]{x} + a^{2} x = b^{2} y

2 a \sqrt[]{x} = 1 + a^{2} x - b^{2} y

. Mivel

1 + a^{2} x - b^{2} y

racionális és

\sqrt[]{x}

irracionális, azért szükségképpen

a = 0

. Így

1 = b \sqrt[]{y}

\sqrt[]{y} = \frac{1}{b}

, holott

\sqrt[]{y}

irracionális. Ez ellentmondás, tehát állításunk igaz.

György András (Budapest, Árpád Gimn., II. o. t.) dolgozata alapján

Megjegyzések. 1. Azon, hogy adott egy kiindulási szám, a következőt értettük. Nem csupán a tizedesjegyei vannak előttünk a számológép kijelzőjén, hanem ismerjük "speciális'' előállításait is. Például az a) esetben nemcsak a

\sqrt[]{x} + y

számot, hanem magát

x

-et és

y

-t, sőt törtfelbontásukat is ismertnek tekintjük (nem a számológépben, hanem a "fejünkben''). Ezért vonhattuk ki

{(\sqrt[]{x} + y)}^{3}

-ből

(\sqrt[]{x} + y) \cdot (x + 3 y^{2})

-et.
2. Egy további, viszonylag általános előállítási tételt is kimondhatunk: az

x

kiindulási számból megkaphatjuk az összes

\begin{matrix} y_{k} = \frac{a_{2 k} x^{2 k} + a_{2 k - 2} x^{2 k - 2} + ... + a_{0}}{a_{2 k - 1} x^{2 k - 1} + a_{2 k - 3} x^{2 k - 3} + ... + a_{1} x}, \end{matrix}

\begin{matrix} z_{k} = \frac{a_{2 k} x^{2 k} + a_{2 k - 2} x^{2 k - 2} + ... + a_{0}}{a_{2 k + 1} x^{2 k + 1} + a_{2 k - 1} x^{2 k - 1} + ... + a_{1} x} \end{matrix}

alakú számokat (az

a_{i}

-k racionálisak). Ezt például

k

szerinti indukcióval bizonyíthatjuk.

Szeredi Tibor (Fazekas M. Főv. Gyak. Gimn., II. o. t.) dolgozata alapján

Természetesen az a) és b) esetre számos más konkrét eljárás is adható.