Feladat: Gy.2744 Korcsoport: 16-17 Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):  Alexics Gábor ,  Fábián László ,  György András ,  Horváth Péter ,  Koblinger Egmont ,  Kotosz Balázs ,  Megyesi Zoltán ,  Németh Zoltán ,  Újváry-Menyhárt Mónika 
Füzet: 1992/május, 211. oldal  PDF  |  MathML 
Témakör(ök): Számhalmazok, Kombinatorikai leszámolási problémák, Logikai feladatok, Gyakorlat
Hivatkozás(ok):Feladatok: 1992/január: Gy.2744

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

A feladatban szereplő 20 helyett 16-ra bizonyítjuk be az állítást.
A kiválasztott 16 számból összesen 16⋅152=120 különböző pár alkotható. Mindegyik pár esetén a nagyobbik számból vonva ki a kisebbiket, a kapott eredmények közül legfeljebb 99 lehet különböző: a legkisebb lehetséges különbség 1, a legnagyobb pedig 99. Tehát a kivonásokat rendre elvégezve, legalább 21 ízben olyan eredményt kapunk, amely legalább kétszer fordul elő.
Ezekből néhány lehet

z-y=y-x
alakú egyezés. Ha kikötjük, hogy az y minden egyes ilyen ,,szimmetrikus'' elrendezésben más-más legyen, akkor legfeljebb 14 ilyen (z,y,x) szám hármasunk lesz, hiszen a tizenhat szám legkisebbike és legnagyobbika nem fordulhat elő y-ként.
Marad tehát még legalább hét további ismétlődés. Ha ezek közül van még szimmetrikus számhármas, akkor annak középső száma, az y megegyezik valamelyik korábbi szimmetrikus hármas középső számával, azaz léteznek olyan z1≠z2, x1≠x2, y számok, amelyekre z1-y=y-x1 és z2-y=y-x2. Minthogy z1>y>x1 és z2>y>x2, így nyilvánvalóan x1, x2, z1, z2 négy különböző szám, amelyek z1+x1=2y=z2+x2 miatt megfelelnek a feladat követelményének.
Ha a megmaradt (legalább) hét ismétlődés között nincs szimmetrikus számhármas, akkor az azonos különbségeket teljesen különböző számok adják; ezért található olyan, csupa különböző számból álló x,y,z,w négyes, amelyre x-y=z-w, azaz x+w=y+z.
 

Megjegyzés. Az 1, 2, 3, 5, 8, 21, 29, 37, 46, 60, 71, 83, 93 számsorozatról ellenőrizhető, hogy nem választható ki belőle megfelelő számnégyes. Tehát 16 helyett 13-ra már nem igaz a feladat állítása. Az, hogy 14-re vagy 15-re igaz-e, egyelőre nem ismeretes.