Megmutatjuk, hogy az egyenlet egyetlen, egészekből álló megoldása $x=y=z=0.$ Tételezzük fel, hogy $x\mathrm{,}y\mathrm{,}z$ egy ettől különböző megoldás. Jelölje $x\mathrm{,}y\mathrm{,}z$ legnagyobb közös osztóját $d$; az egyenlet mindkét oldalát $d^2$-tel osztva kapjuk, hogy van olyan $x_1\mathrm{,}{y}_1\mathrm{,}{z}_1$ megoldás is, amelyre az $x_1\mathrm{,}{y}_1\mathrm{,}{z}_1$ számoknak már nincs 1-nél nagyobb közös osztója.
Írjuk az egyenlőséget $3\left(x_1^2+y_1^2\right)=x_1^2+z_1^2$ alakba. A bal oldal 3-nak többszöröse, így $x_1^2+z_1^2$ is osztható 3-mal. Négyzetszámot 3-mal maradékosan osztva 0-t vagy 1-et kaphatunk csak maradékul. Ezért $x_1^2+z_1^2$ csak akkor osztható 3-mal, ha $x_1$ és $z_1$ egyaránt osztható 3-mal; ekkor $x_1^2+z_1^2$ osztható 9-cel, tehát $x_1^2+y_1^2$ is osztható 3-mal. Ez ismét csak úgy lehetséges, ha $x_1$ és $y_1$ is osztható 3-mal, ami ellentmondás, hiszen $x_1$-nek, $y_1$-nek és $z_1$-nek a 3 nem lehet közös osztója.