A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre. Megmutatjuk, hogy az egyenlet egyetlen, egészekből álló megoldása Tételezzük fel, hogy egy ettől különböző megoldás. Jelölje legnagyobb közös osztóját ; az egyenlet mindkét oldalát -tel osztva kapjuk, hogy van olyan megoldás is, amelyre az számoknak már nincs 1-nél nagyobb közös osztója. Írjuk az egyenlőséget alakba. A bal oldal 3-nak többszöröse, így is osztható 3-mal. Négyzetszámot 3-mal maradékosan osztva 0-t vagy 1-et kaphatunk csak maradékul. Ezért csak akkor osztható 3-mal, ha és egyaránt osztható 3-mal; ekkor osztható 9-cel, tehát is osztható 3-mal. Ez ismét csak úgy lehetséges, ha és is osztható 3-mal, ami ellentmondás, hiszen -nek, -nek és -nek a 3 nem lehet közös osztója.
Megjegyzés. Hasonlóan igazolhatjuk, hogy bármely alakú prímszámmal a egyenletnek -n kívül nem létezik más egész megoldása. Ehhez az előbbiek mintájára elegendő belátnunk, hogy két négyzetszám összege csak akkor osztható -vel, ha a számok külön-külön -vel oszthatók. Állításunkkal ellentétben tegyük föl, hogy valamely és egészekre teljesül, de valamelyikük nem osztható -vel. Ekkor nyilván és egyike sem osztható -vel. Fermat (kis) tétele miatt és 1-et ad maradékul -vel osztva, ezért a -vel való maradékos osztásnál 2-t ad maradékul. A -re tett feltevés szerint páratlan, ezért osztható -tel, tehát -vel is. Ellentmondáshoz jutottunk, hiszen nem lehet osztója a 2-nek. |