A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre. A kérdésre a válasz . Az 1. ábrán látható kocka beírt gömbjét az szabályos tetraéder minden éle érinti, mert az élek felezőpontjai éppen a kocka lapközéppontjai, s a beírt gömb a lapokat éppen a középpontban érinti.
1. ábra Megmutatjuk, hogy pont már nem helyezhető el a feltételeknek megfelelően. Tegyük fel, hogy az , , , , pontok közül bármely kettő összekötő egyenese érinti a gömböt. Egy gömbhöz egy külső pontból húzott érintők egy kúpot alkotnak, amelyik egy körben érinti a gömböt. Így az , , , , pontoknak -n megfeleltethető egy-egy , , , , kör. Megmutatjuk, hogy ezek a körök páronként érintik egymást.
2. ábra Ha például az egyenes -ben érinti -t, akkor az és a körön is rajta van (2. ábra). Ha egy -től különböző pont is rajta lenne mindkét körön, akkor és is érintők lennének, és teljesülne, ami ellentmondana a háromszög-egyenlőtlenségből következő feltételnek. Tehát a gömbön levő , , , , körök közül bármelyik kettő érinti egymást. Mivel körök érintési pontja rajta van a köröknek megfelelő pontok összekötő egyenesén, és az , , , , pontok közül bármelyik három nem kollineáris, azért a körök érintkezési pontjai mind különbözőek.
3. ábra Jelöljük az körnek a másik négy körrel való érintési pontjait , , és -vel. Feltehetjük, hogy az és pontok a köríven elválasztják az és pontokat (3. ábra). A és körök közül kettő csak akkor érintkezhet, ha az kör síkja által meghatározott két féltér közül ugyanabban helyezkedik el. Tehát mind a négy kör ugyanabban a féltérben van. Viszont (az előbbihez hasonló okból) a és körök érintési pontja, valamint az és pontok által meghatározott sík elválasztja egymástól a és köröket, így azok nem érintkeznek. Ez az ellentmondás azt mutatja, hogy pont már nem helyezhető el a feltételeknek megfelelően. |