Feladat: Gy.2741 Korcsoport: 16-17 Nehézségi fok: nehéz
Megoldó(k):  Kálmán Tamás 
Füzet: 1992/november, 382. oldal  PDF  |  MathML 
Témakör(ök): Kúpok, Térelemek és részeik, Térgeometriai bizonyítások, Gömb és részei, Gyakorlat
Hivatkozás(ok):Feladatok: 1991/december: Gy.2741

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

A kérdésre a válasz 4. Az 1. ábrán látható kocka beírt gömbjét az ABCD szabályos tetraéder minden éle érinti, mert az élek felezőpontjai éppen a kocka lapközéppontjai, s a beírt gömb a lapokat éppen a középpontban érinti.

 
 

1. ábra
 

Megmutatjuk, hogy 5 pont már nem helyezhető el a feltételeknek megfelelően. Tegyük fel, hogy az A, B, C, D, E pontok közül bármely kettő összekötő egyenese érinti a g gömböt. Egy gömbhöz egy külső pontból húzott érintők egy kúpot alkotnak, amelyik egy körben érinti a gömböt. Így az A, B, C, D, E pontoknak g-n megfeleltethető egy-egy a, b, c, d, e kör. Megmutatjuk, hogy ezek a körök páronként érintik egymást.
 
 

2. ábra
 

Ha például az AB egyenes P-ben érinti g-t, akkor P az a és a b körön is rajta van (2. ábra). Ha egy P-től különböző Q pont is rajta lenne mindkét körön, akkor AQ és BQ is érintők lennének, AP=AQ és BP=BQ teljesülne, ami ellentmondana a háromszög-egyenlőtlenségből következő AP+BP=AB<AQ+QB feltételnek. Tehát a g gömbön levő a, b, c, d, e körök közül bármelyik kettő érinti egymást. Mivel körök érintési pontja rajta van a köröknek megfelelő pontok összekötő egyenesén, és az A, B, C, D, E pontok közül bármelyik három nem kollineáris, azért a körök érintkezési pontjai mind különbözőek.
 
 

3. ábra
 
 

Jelöljük az a körnek a másik négy körrel való érintési pontjait Eb, Ec, Ed és Ee-vel. Feltehetjük, hogy az Eb és Ec pontok a köríven elválasztják az Ed és Ee pontokat (3. ábra). A b,c,d és e körök közül kettő csak akkor érintkezhet, ha az a kör síkja által meghatározott két féltér közül ugyanabban helyezkedik el. Tehát mind a négy kör ugyanabban a féltérben van. Viszont (az előbbihez hasonló okból) a b és c körök érintési pontja, valamint az Eb és Ec pontok által meghatározott sík elválasztja egymástól a d és e köröket, így azok nem érintkeznek. Ez az ellentmondás azt mutatja, hogy 5 pont már nem helyezhető el a feltételeknek megfelelően.