Kezdőlap


Feladat:	Gy.2740	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: nehéz
Füzet:	1992/november, 380 - 381. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Pitagorasz-tétel alkalmazásai, Egyenlőtlenségek, Konstruktív megoldási módszer, Lefedések, Síkgeometriai számítások trigonometria nélkül körökben, Gyakorlat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1991/december: Gy.2740

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Megmutatjuk, hogy a lefedéshez szükséges körök száma $⌈ \frac{b}{\sqrt[]{4 - a^{2}}} ⌉$ (ahol $⌈ x ⌉$ - az $x$ felső egész része ‐ a legkisebb, $x$ -nél nem kisebb egész számot jelöli).

1. ábra

Először belátjuk, hogy egy egységsugarú kör két, egymástól

a \leq \sqrt[]{3}

távolságra lévő párhuzamos húrjának együttes hossza legfeljebb

2 \sqrt[]{4 - a^{2}}

. Ha a

h_{1}

és

h_{2}

húrokat a velük párhuzamos átmérő nem választja szét, akkor a középponttól távolabbi húr (

h_{2}

) egyenesét a másik húr egyenesére tükrözve a kapott

h_{1}

és

h'_{2}

húrok együttes hossza nyilván nagyobb, mint

h_{1}

és

h_{2}

hosszának összege (1. ábra).
Ezt a lépést véges sokszor ismételve elérhetjük, hogy a kör középpontja a két húr közt helyezkedjék el. Eközben a két húr távolsága a középponttól nem változik. Ilyen esetben, ha a kör középpontjának az egyik húrtól való távolsága

c

, akkor Pitagorasz tétele szerint a két húr együttes hossza (2. ábra):

2 (\sqrt[]{1 - c^{2}} + \sqrt[]{1 - {(a - c)}^{2}})

2. ábra

Elegendő tehát megmutatnunk, hogy

\begin{matrix} \sqrt[]{1 - c^{2}} + \sqrt[]{1 - {(a - c)}^{2}} \leq 2 \sqrt[]{1 - {(\frac{a}{2})}^{2}} . \end{matrix}

(1)

Négyzetre emelve és rendezve:

\begin{matrix} \sqrt[]{(1 - c^{2}) (1 - {(a - c)}^{2})} \leq 1 + c^{2} - a c . \end{matrix}

Ismét négyzetre emelve és rendezve:

0 \leq {(2 c - a)}^{2}

.
Ez nyilván igaz, s mivel mindig pozitív számokat emeltünk négyzetre, ezért (1) is fennáll. Tehát egy egységsugarú kör a téglalap két

b

hosszúságú oldalából összesen legfeljebb

2 \sqrt[]{4 - a^{2}}

hosszú darabot fed le. Ha viszont a körök lefedik a teljes téglalapot, akkor le kell hogy fedjék a

2 b

hosszúságú oldalakat is. Ezért a lefedéshez legalább

⌈ \frac{b}{\sqrt[]{4 - a^{2}}} ⌉

darab körre van szükség.

3. ábra

Könnyen látható, hogy ennyi viszont elég is. Ha a köröket a 3. ábrán látható módon helyezzük el ‐ középpontjaik a téglalap egyik szimmetriatengelyén, metszéspontjaik pedig a téglalap kerületén vannak ‐, akkor lefedik a téglalapot.
Ezzel állításunkat beláttuk.

Megjegyzés. Az (1) egyenlőség egyszerűbben következik abból, hogy az

y = \sqrt[]{1 - x^{2}}

függvény (amelynek képe egy negyedkör) alulról konvex (4. ábra).

4. ábra