Kezdőlap


Feladat:	Gy.2739	Korcsoport: 14-15	Nehézségi fok: átlagos
Füzet:	1992/szeptember, 260 - 261. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Háromszögek szerkesztése, Thalesz-kör, Körérintők, Magasságvonal, Gyakorlat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1991/december: Gy.2739

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Tekintsük a feladatot megoldottnak. Rajzoljuk meg a két érintkező kör $C$ -beli közös érintőjét, messe ez az $A B$ szakaszt $D$ -ben. Ekkor $A D = D C = D B$ , hiszen egy körhöz külső pontból húzott érintőszakaszok egyenlők. Vagyis $D$ az $A B$ felezőpontja, és $C$ rajta van a $D$ középpontú, $\frac{A B}{2}$ sugarú körön. Ez a kör nem más, mint $A B$ Thalész-köre; tehát az $A B C$ háromszög $C$ -nél levő szöge derékszög.

Ezek alapján a szerkesztést a következőképpen végezhetjük el: Megrajzoljuk az

A B

szakasz Thalész-körét, továbbá az

A B

-vel párhuzamos, tőle

m_{C}

távolságra lévő egyeneseket. A párhuzamos egyenesek és a Thalész-kör közös pontjai adják

C

-t. Az így szerkesztett háromszögben

C

-nél derékszög van, továbbá

O_{A} C A ∢ = 90^{\circ} - α

és

O_{B} C B ∢ = 90^{\circ} - β

, mivel mindkét kör érinti az

A B

oldalt; ezért az

O_{A}

C

O_{B}

pontok egy egyenesbe esnek, tehát a két kör egymást is érinti, a háromszög megfelel a feltételeknek.
Lényegében egy megoldás van, ha

m_{C} \leq \frac{A B}{2}

; ha pedig

m_{C} > \frac{A B}{2}

, akkor nincs megoldás.