A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre. Mivel , azért a kérdéses elemek egyike . Tegyük fel, hogy az állítással ellentétben mégis létezik olyan , hogy a halmaz bármely két különböző és elemére négyzetszám. Ekkor
mindegyike teljesül, alkalmas számokkal. Az (1) alapján páratlan, legyen . Ekkor , amiből ; vagyis páratlan. Ezt összevetve -vel és (3)-mal, és adódik, s így és mindegyike páros. Legyen . (3)-ból (2)-t kivonva a | | (4) | egyenlőséget kapjuk, egyszerűsítve Ha és paritása különbözne egymástól, akkor mind összegük, mind különbségük páratlan lenne, vagyis (5) jobb oldala páratlan, bal oldala pedig páros volna, s ez lehetetlen. Tehát és paritása azonos, ezért -gyel is osztható, s így is. Ez azonban ellentmond annak, hogy páratlan. Ezek szerint indirekt feltevésünk helytelen volt, és ezzel beláttuk, hogy ilyen szám nem létezhet.
Waldner Zoltán (Miskolc, Földes F. Gimn., I. o. t.) dolgozata alapján |