Kezdőlap


Feladat:	Gy.2737	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Waldner Zoltán
Füzet:	1992/április, 166 - 167. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Algebrai átalakítások, Indirekt bizonyítási mód, Természetes számok, Számelmélet alaptétele, Gyakorlat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1991/december: Gy.2737

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Mivel $2 \cdot 5 - 1 = 3^{2}; 2 \cdot 13 - 1 = 5^{2}; 5 \cdot 13 - 1 = 8^{2}$ , azért a kérdéses elemek egyike $d$ . Tegyük fel, hogy az állítással ellentétben mégis létezik olyan $d$ , hogy a ${2; 5; 13; d}$ halmaz bármely két különböző $a$ és $d$ elemére $a \cdot d - 1$ négyzetszám. Ekkor

\begin{matrix} 2 d - 1 = x^{2}, & (1) \\ 5 d - 1 = y^{2}, & (2) \\ 13 d - 1 = z^{2} & (3) \end{matrix}

mindegyike teljesül, alkalmas

x, z, y

számokkal. Az (1) alapján

x

páratlan, legyen

x = 2 k + 1

. Ekkor

2 d = x^{2} + 1 = {(2 k + 1)}^{2} + 1 = 4 k^{2} + 4 k + 2

, amiből

d = 2 (k^{2} + k) + 1

; vagyis

d

páratlan.
Ezt összevetve

(2)

-vel és (3)-mal,

2 | y^{2}

és

2 | z^{2}

adódik, s így

y

és

z

mindegyike páros. Legyen

y = 2 y', z = 2 z'

. (3)-ból (2)-t kivonva a

\begin{matrix} 8 d = z^{2} - y^{2} = (z - y) (z + y) = (2 z' - 2 y') (2 z' + 2 y') = 4 (z' - y') (z' + y') \end{matrix}

(4)

egyenlőséget kapjuk, egyszerűsítve

\begin{matrix} 2 d = (z' - y') (z' + y') . \end{matrix}

(5)

z'

és

y'

paritása különbözne egymástól, akkor mind összegük, mind különbségük páratlan lenne, vagyis (5) jobb oldala páratlan, bal oldala pedig páros volna, s ez lehetetlen. Tehát

z'

és

y'

paritása azonos, ezért

(z' - y') (z' + y')

4

-gyel is osztható, s így

2 d

is. Ez azonban ellentmond annak, hogy

d

páratlan.
Ezek szerint indirekt feltevésünk helytelen volt, és ezzel beláttuk, hogy ilyen

d

szám nem létezhet.

Waldner Zoltán (Miskolc, Földes F. Gimn., I. o. t.) dolgozata alapján