Kezdőlap


Feladat:	Gy.2734	Korcsoport: 14-15	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Maróti Attila , Székelyhidi László
Füzet:	1992/április, 165. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Konstruktív megoldási módszer, Oszthatóság, Természetes számok, Gyakorlat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1991/december: Gy.2734

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Az $n$ nem lehet páros, hiszen páros sok páratlan szám szorzata páratlan, összege viszont páros.
Legyen tehát $n$ páratlan. Tegyük fel, hogy léteznek a feltételeknek eleget tevő páratlan számok, jelölje őket $2 a_{1} + 1$ , $2 a_{2} + 1$ , $...$ , $2 a_{n} + 1$ . Ekkor

\begin{matrix} (2 a_{1} + 1) (2 a_{2} + 1) \cdot ... \cdot (2 a_{n} + 1) = 2 a_{1} + 1 + ... + 2 a_{n} + 1 = 2 a_{1} + 2 a_{2} + ... + 2 a_{n} + n . \end{matrix}

(1)

Végezzük el a beszorzást, ekkor a bal oldal

\begin{matrix} (1 + 2 a_{1} + 2 a_{2} + ... + 2 a_{n}) + (2 a_{1}) (2 a_{2}) + (2 a_{1}) (2 a_{3}) + ... + (2 a_{1}) (2 a_{2}) \cdot ... \cdot (2 a_{n}) \end{matrix}

alakot ölt. Ebben az összegben az első zárójelben álló

n + 1

tagot leszámítva, a többiekről biztosan tudjuk, hogy oszthatóak

4

-gyel, így azok összege

4 k

alakban írható. Ezt felhasználva, ha (1) mindkét oldalából

(2 a_{1} + 2 a_{2} + ... + 2 a_{n})

-et kivonunk,

\begin{matrix} 4 k + 1 = n \end{matrix}

adódik. Így

n

csak

4 k + 1

alakú lehet.
Tetszőleges

n = 4 k + 1

alakú számra

(k \geq 1)

mutatunk megfelelő szám

n

-est. Vegyük a

\begin{matrix} 2 k + 1, 3, {\underset{︸}{1, 1 ..., 1}}_{4 k - 1 db}^{} \end{matrix}

számokat. Ezek szorzata és összege egyaránt

6 k + 3

.
Tehát a feladat kérdésére a válasz: az

n = 4 k + 1

alakú számokra.

Székelyhidi László (Debrecen, Tóth Árpád Gimn., I. o. t.) dolgozata alapján