Kezdőlap


Feladat:	Gy.2729	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	György András , Németh Tamás , Rákóczi Bálint
Füzet:	1992/április, 164 - 165. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Egyenlőtlenségek, Indirekt bizonyítási mód, Hatványközepek közötti egyenlőtlenség, Gyakorlat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1991/november: Gy.2729

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Tegyük fel, hogy $x^{2} + y^{2} + z^{2} < 3 / 4$ . Ezt, valamint a mértani és a négyzetes közép közti egyenlőtlenséget felhasználva

\begin{matrix} \sqrt[3]{x y z} \leq \sqrt[]{\frac{x^{2} + y^{2} + z^{2}}{3}} < \frac{1}{2} adódik . \end{matrix}

Innen

x y z < 1 / 8

, vagyis ‐ ismét figyelembe véve az indirekt feltevést is ‐

\begin{matrix} x^{2} + y^{2} + z^{2} + 2 x y z < \frac{3}{4} + 2 \cdot \frac{1}{8} = 1. \end{matrix}

Ez ellentmond a feladat feltételének, tehát indirekt feltevésünk hamisnak bizonyult, s így

\begin{matrix} x^{2} + y^{2} + z^{2} \geq \frac{3}{4} . \end{matrix}

Könnyen megállapíthatjuk az egyenlőség fennállásának feltételét. Ekkor ugyanis

\begin{matrix} x^{2} + y^{2} + z^{2} = \frac{3}{4}, \end{matrix}

valamint

\begin{matrix} x y z = \frac{1 - x^{2} - y^{2} - z^{2}}{2} = \frac{1}{8}, \end{matrix}

tehát

\begin{matrix} \sqrt[3]{x y z} = \sqrt[]{\frac{x^{2} + y^{2} + z^{2}}{3}}, \end{matrix}

amiből

| x | = | y | = | z | = \frac{1}{2}

következik, és

x, y, z

közül pontosan páros számú lehet negatív.

Megjegyzés. A négyzetes és a geometriai közép közti egyenlőtlenséget általában nemnegatív számok esetén szoktuk alkalmazni. A számtani és mértani közép közti egyenlőtlenség például nem is igaz negatív számokra, amint azt a következő példa mutatja:

\begin{matrix} \frac{- 8 - 8}{2} = - 8 < \sqrt[]{(- 8) (- 8)} = 8. \end{matrix}

A jelen esetben viszont nyilvánvalóan

\begin{matrix} \sqrt[3]{x y z} \leq | \sqrt[3]{x y z} | = \sqrt[3]{| x | | y | | z |} \cdot \sqrt[]{\frac{| x |^{2} + | y |^{2} + | z |^{2}}{3}} = \sqrt[]{\frac{x^{2} + y^{2} + z^{2}}{3}} . \end{matrix}

Egyenlőség fennálltakor

| x | = | y | = | z | és x y z = | x y z |

teljesül, amiből

\begin{matrix} | x | = x = y = z; x = y = - | z | = - z; x = - | y | = - y = z; - | x | = - x = y = z \end{matrix}

valamelyike adódik.