Kezdőlap


Feladat:	Gy.2726	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Füzet:	1992/április, 162. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Oszthatóság, Algebrai átalakítások, Gyakorlat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1991/november: Gy.2726

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Először azt mutatjuk meg, hogy

\begin{matrix} 7^{3} | a^{2} + a b + b^{2} \Leftrightarrow 7^{3} | (18 a - b) (18 b - a) . \end{matrix}

Valóban,

(18 a - b) (18 b - a) = - 18 a^{2} - 18 b^{2} + 325 a b = 7^{3} a b - 18 (a^{2} + a b + b^{2})

, amiből a fenti ekvivalencia nyilvánvaló.
Ha most olyan

a

b

számokat tekintünk, amelyekre

7 ∤ a

és

7 ∤ b

teljesül, akkor

\begin{matrix} 7^{3} | (18 a - b) (18 b - a) \Leftrightarrow 7^{3} | 18 a - b vagy 7^{3} | 18 b - a \end{matrix}

is fennáll. Tegyük fel ugyanis, hogy

7^{3} | (18 b - a) (18 a - b)

, de

7^{3} ∤ 18 a - b

és

7^{3} ∤ 18 b - a

. Ekkor szükségképpen

7 | 18 a - b

és

7 | 18 b - a

, amiből

7 | 18 a - b + 18 b - a = 17 a + 17 b

adódik. Ebből

7 | a + b

, majd

7 | (18 a - b) + (a + b) = 19 a

következik, tehát

7 | a

teljesül.
Ezzel az egyik irányú következtetést beláttuk, a másik pedig nyilvánvaló. Tehát

\begin{matrix} 7^{3} | a^{2} + a b + b^{2}, 7 ∤ a, 7 ∤ b \Leftrightarrow 7 ∤ a, 7 ∤ b és 7^{3} | 18 a - b vagy 7^{3} | 18 b - a . \end{matrix}

Ezek szerint a feltételeket kielégítő számpárok mind olyanok, amelyekre

\begin{matrix} 7 ∤ a, 7 ∤ b és 7^{3} | 18 a - b vagy 7^{3} | 18 b - a, \end{matrix}

és az ilyen számpárok valamennyien jók is. Ezzel tehát megadtuk az összes megoldást; egy ilyen például az

a = 1, b = 18

\begin{matrix} a^{2} + a b + b^{2} = 1 + 18 + 18^{2} = 343 = 7^{3} . \end{matrix}

Megjegyzés. Természetesen nem kellett az összes megoldást megadni ahhoz, hogy valaki 5 pontot kapjon dolgozatára ‐ a kitűzésben csak egy számpár megadása volt a feladat.