Kezdőlap


Feladat:	Gy.2725	Korcsoport: 14-15	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Koncz Imre
Füzet:	1992/április, 161 - 162. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Egyenes körkúpok, Térfogat, Gömb és részei, Gyakorlat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1991/október: Gy.2725

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Jelöljük a gömb sugarát $R$ -rel, a kúp sugarát $r$ -rel, magasságát $m$ -mel.

Mivel a kúp a gömbbe van írva, ezért

r \leq R

és

m < 2 R

. Tudjuk, hogy a kúp, illetve a gömb térfogata:

\begin{matrix} V_{k} = \frac{r^{2} \cdot π \cdot m}{3}, V_{g} = \frac{4 R^{3} \cdot π}{3} . \end{matrix}

Ezeket felhasználva:

\begin{matrix} V_{k} = \frac{r^{2} \cdot π \cdot m}{3} < \frac{R^{2} \cdot π \cdot 2 R}{3} = \frac{2 R^{3} \cdot π}{3} = \frac{1}{2} V_{g} . \end{matrix}

Tehát a kúp térfogata mindig kisebb, mint a gömb térfogatának a fele, ezért a gömbbe nem írható a feltételeknek megfelelő kúp.

Koncz Imre (Nyíregyháza, 5.sz. Ált. Isk., 7. o. t.)

Megjegyzés. A gömbbe írt kúp térfogata akkor maximális, ha

m = \frac{4}{3} R

és

r = \frac{2 \sqrt[]{2}}{3} R

; ekkor a kúp térfogata

V_{k} = \frac{32 R^{3} \cdot π}{81} = \frac{8}{27} \cdot V_{g} .