Kezdőlap


Feladat:	Gy.2722	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: könnyű
Megoldó(k):	Koltai Róbert , Kula Péter , Megyesi Zoltán , Rákóczi Bálint , Timár Ádám , Újváry-Menyhárt Mónika
Füzet:	1992/április, 161. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Pont körüli forgatás, Diszkusszió, Háromszögek szerkesztése, Gyakorlat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1991/október: Gy.2722

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Tekintsük a feladatot megoldottnak. Jelöljük a háromszög csúcsait $A$ , $B$ , $C$ -vel, az adott távolságokat $r_{A}$ , $r_{B}$ , $r_{C}$ -vel, az ezekkel a sugarakkal $P$ körül rajzolt köröket $k_{A}, k_{B}, k_{c}$ -vel. Feltehetjük, hogy $r_{A} \leq r_{B} \leq r_{C}$ .

Szerkesztésünk azon az észrevételen alapul, hogy

B A C ∢ = 60^{\circ}

, tehát az

A

körüli

60^{\circ}

-os elforgatás

B

-t

C

-be viszi. A

k_{A}

körön tetszőlegesen kijelölhetjük

A

-t, hiszen az

A B C

háromszög

P

körüli tetszőleges szöggel való elforgatottja is eleget tesz a feltételeknek. A

k_{B}

kör

A

körüli

60^{\circ}

-os elforgatottja,

k'_{B}

tartalmazza

B 60^{\circ}

-os elforgatottját, vagyis

C

-t. Ezért

k'_{B}

és

k_{C}

metszéspontja éppen

C

. Végül

C

-t

A

körül

60^{\circ}

kal visszaforgatva kapjuk

B

-t.
Az így szerkesztett háromszögre nyilván igaz, hogy

P A = r_{A}

és

P C = r_{C}

, s mivel

C

k'_{B}

-nek is pontja, ezért

C

visszaforgatottja

k_{B}

-nek pontja, vagyis

P B = r_{B}

.
A lényegesen különböző ‐ tükrözéssel vagy

P

körüli forgatással egymásba át nem vihető ‐ megoldások száma

0, 1

vagy

2

attól függően, hogy

k'_{B}

-nek és

k_{C}

-nek hány közös pontja van, azaz hogy

r_{A} + r_{B} < r_{C}, r_{A} + r_{B} = r_{C}

vagy

r_{A} + r_{B} > r_{C}

Kula Péter (Szeged, Radnóti M. Gimn., I. o. t.) dolgozata alapján