Kezdőlap


Feladat:	Gy.2718	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Ehreth Imre
Füzet:	1992/március, 114 - 115. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Nevezetes azonosságok, Oszthatóság, Kettes alapú számrendszer, Teljes indukció módszere, Maradékos osztás, kongruenciák, Gyakorlat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1991/október: Gy.2718

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Fejtsük ki $K$ -t a helyiértékei szerint!

\begin{matrix} K = 2^{19} + 2^{17} + 2^{16} + 2^{14} + 2^{12} + 2^{10} + 2^{8} + 2^{6} + x \cdot 2^{5} + y \cdot 2^{4} + z \cdot 2^{3} + 2^{2} + 2^{1} = \\ = 2 \cdot 8^{6} + 6 \cdot 8^{5} + 5 \cdot 8^{4} + 2 \cdot 8^{3} + 5 \cdot 8^{2} + 8 \cdot (4 x + 2 y + z) + 6. \end{matrix}

Teljes indukcióval megmutatjuk, hogy

7 | 8^{n} - 1

. Ha

n = 0

, akkor ez teljesül. Tegyük fel, hogy

n - 1

-re igaz; ekkor

\begin{matrix} 8^{n} - 1 = 8 \cdot 8^{n - 1} - 1 = 8 \cdot (8^{n - 1} - 1) + 7; \end{matrix}

az indukciós feltevés alapján

7 | 8^{n - 1} - 1

, ebből

7 | 8 \cdot (8^{n - 1} - 1) + 7

, tehát az állítás

n

-re is igaz.
Észrevételünket felhasználva,

\begin{matrix} K = 2 (8^{6} - 1) + 6 (8^{5} - 1) + 5 (8^{4} - 1) + 2 (8^{3} - 1) + 5 (8^{2} - 1) + \\ + 7 (4 x + 2 y + z) + 3 \cdot 7 + (4 x + 2 y + z + 5) \end{matrix}

pontosan akkor osztható

7

-tel, ha

\begin{matrix} 4 x + 2 y + z + 5 \end{matrix}

osztható

7

-tel. Mivel

5 \leq 4 x + 2 y + z + 5 \leq 12

, ezért szükségképpen

4 x + 2 y + z = 2

. Mivel

x, y, z

csak

0

vagy

1

lehet,

x = 0

. Továbbá

z

páros, ezért

z

0

, végül

y = 1

. Tehát a feladatnak egy megoldása van:

x = 0, y = 1, z = 0

Ehreth Imre (Bonyhád, Petőfi S. Gimn., I. o. t.)

Megjegyzés. Sok beküldő számolt úgy, mintha

K

kettes számrendszerbeli alakjának utolsó számjegye

(0)

a kettes helyiértéken volna. Ez természetesen nem így van, egész számok felírásakor az egyes a legkisebb helyiérték.