Kezdőlap


Feladat:	Gy.2717	Korcsoport: 14-15	Nehézségi fok: könnyű
Megoldó(k):	Katona Zsolt
Füzet:	1992/április, 159 - 160. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Térelemek és részeik, Térgeometriai bizonyítások, Gyakorlat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1991/szeptember: Gy.2717

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

a) Ha egy egyenes a három sík valamelyikében fekszik, akkor nem metszi egyik térnyolcadot sem. Ha egy egyenest egyik sík sem tartalmazza, akkor ez az egyenes legfeljebb három különböző pontban metszheti a három síkot, így e metszéspontok legfeljebb négy részre osztják az egyenest. Ezek a részek teljes egészükben egy-egy térnyolcadban haladnak; tehát egy egyenes legfeljebb négy térnyolcadba metszhet bele.
b) Tekintsünk egy olyan térbeli koordináta-rendszert, amelynek tengelyei pontosan a feladatban szereplő három, páronként merőleges síkot határozzák meg Tekintsük a térben a következő nyolc pontot:

\begin{matrix} A_{1} & (8; 4; 6), & B_{1} (- 8; - 4; 6) \\ A_{2} & (3; - 1; 1), & B_{2} (- 3; 1; 1), \\ A_{3} & (1; - 3; - 1), & B_{3} (- 1; 3; - 1), \\ A_{4} & (- 4; - 8; - 6), & B_{4} (4; 8; - 6) . \end{matrix}

Könnyű ellenőrizni, hogy az

A_{1}

A_{2}

A_{3}

A_{4}

pontok és a

B_{1}, B_{2}, B_{3}, B_{4}

pontok egy-egy egyenesen vannak, legyen ez a két egyenes

a

és

b

. A nyolc pont koordinátáinak előjeleiből leolvasható, hogy közülük mind a nyolc térrészben pontosan egy helyezkedik el, tehát mindegyik térrészt metszi az

a

és

b

egyenesek valamelyike. Azonban az a) szerint mindegyik legfeljebb négy térnyolcadot metszhet, ezért az is igaz, hogy mindegyik térnyolcadot pontosan az egyikük metszi.

Katona Zsolt (Fazekas M. Főv. Gyak. Ált. Isk., 6. o. t) dolgozata alapján