A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre. Nevezzünk egy körökből álló halmazt összefüggőnek, ha bármely körvonal tetszőleges pontjából a köríveken haladva el tudunk jutni az összes többi körvonalhoz. A továbbiakban a következő állítást bizonyítjuk: Ha a körökből álló halmaz pontosan darab összefüggő részre bomlik, és pontosan darab pont illeszkedik legalább két körre, akkor ezek a körök legalább részre osztják a síkot. Először legyen , azaz összefüggő. Kezdjük el egymás után lerajzolni a köröket úgy, hogy a kapott körhalmaz mindig összefüggő legyen. Ezt megtehetjük, hiszen összefüggősége miatt minden lépésben lesz olyan, még le nem rajzolt kör, amely metszi vagy érinti a már lerajzoltak valamelyikét.
1. ábra Legyen az -edik lépésben lerajzolt körnek darab közös pontja a már korábban lerajzoltakkal; ekkor . Ezt a kört az pont darab ívre osztja, és mindegyik ív egy zárt síkrészt oszt ketté, vagy a végtelen síkrészből kerít le egy zárt darabot (1. ábra). Tehát a síkrészek száma az -edik lépésben -lel, a körök metszés, ill. érintési pontjainak száma pedig legfeljebb -lel nő, hiszen az -edik lépésben berajzolt körnek a már korábban berajzoltakkal keletkező darab közös pontja között lehetnek olyanok, amelyek már az -edik lépés előtt is legalább két körre illeszkedtek. Az első lépésben a lerajzolt egyetlen kör két részre osztja a síkot, és a legalább két körre illeszkedő pontok száma . Az előzőek szerint minden lépésben legalább annyival nő a síkrészek száma, mint a körök metszés, ill. érintési pontjainak a száma, így ‐ miután összesen darab pont illeszkedik legalább két körre ‐ a keletkező síkrészek száma legalább . Áttérve az esetre, ha az -edik összefüggő részben a köröknek darab metszés-, ill. érintési pontja van, akkor ebben a részben legalább darab síkrész keletkezett (a végtelen síkrésszel együtt). Figyelembe véve, hogy , valamint azt, hogy a végtelen síkrészt az darab összefüggő rész mindegyikében számoltuk, az összesen keletkező síkrészek száma legalább
2. ábra A feladatban , tehát a síkrészek minimális száma . Ennyi síkrész keletkezik például akkor, ha négy, páronként metsző körünk van (2. ábra). |