Kezdőlap


Feladat:	Gy.2714	Korcsoport: 14-15	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Abért Krisztián , Hegedűs Márton , Keresztessy Zita , Környei László , Megyesi Zoltán , Pető Tibor , Rákóczi Bálint , Tóth László , Völgyi Péter
Füzet:	1992/május, 208 - 209. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Egyenlő szárú háromszögek geometriája, Szögfelező egyenes, Síkgeometriai számítások trigonometria nélkül háromszögekben, Tengelyes tükrözés, Gyakorlat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1991/szeptember: Gy.2714

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Jelöljük $E$ -vel a $B C$ oldalnak azt a pontját, amelyre $B E = B D$ , $E'$ -vel pedig $E$ -nek a $B D$ egyenesre vonatkozó tükörképét (lásd az ábrát).

A B C

háromszög egyenlő szárú, ezért

A B C ∢ = A B C ∢ = \frac{1}{2} (180^{\circ} - B A C ∢) = 40^{\circ};

D B

szögfelező, ezért

D B C ∢ = 20^{\circ}

. A

D B E

háromszög is egyenlő szárú, tehát

B E D ∢ = B D E ∢ = \frac{1}{2} (180^{\circ} - D B E ∢) = 80^{\circ} .

D E C

háromszögben

D E C ∢ = 180^{\circ} - D E B ∢ = 100^{\circ}

E C D ∢ = 40^{\circ},

tehát

C D E ∢ = 180^{\circ} - (100^{\circ} + 40^{\circ}) = 40^{\circ};

azaz a háromszög egyenlő szárú,

D E = E C .

A D E'

háromszög is egyenlő szárú, mivel

E' A D ∢ = 180^{\circ} - B A D ∢ = 80^{\circ},

és a tükrözés miatt

A E' D ∢ = B E D ∢ = 80^{\circ},

tehát

A D = E' D .

Ezek után az eredeti állítást már egyszerűen bizonyíthatjuk:

\begin{matrix} B C = B E + E C = B D + E C, és tudjuk, hogy E C = E D = E' D = A D, \\ így B C = B D + A D . \end{matrix}