Feladat: Gy.2709 Korcsoport: 18- Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):  Álmos Attila ,  Csekő Zoltán ,  Csergőffy Tibor ,  Csorba Péter ,  Csörnyei Marianna ,  Dőtsch András ,  Égi József ,  Faragó Gergely ,  Győry Máté ,  Hajba Tamás ,  Hegedűs Márton ,  Katz Sándor ,  Kóczy László ,  Lente Gábor ,  Molnár-Sáska Gábor ,  Stőhr Lóránt ,  Szabó László ,  Szeidl Ádám ,  Tóth Csaba ,  Újváry-Menyhárt Zoltán ,  Veres Gábor 
Füzet: 1992/március, 113 - 114. oldal  PDF file
Témakör(ök): Tengelyes tükrözés, Négyszög alapú egyéb hasábok, Beírt gömb, Tetraéderek, Ellenpélda, mint megoldási módszer a matematikában, Gyakorlat
Hivatkozás(ok):Feladatok: 1991/május: Gy.2709

Egy tetraéderről tudjuk, hogy magasságvonalainak a beírt gömbbe eső szakaszai egyenlő hosszúak. Következik-e ebből, hogy a tetraéder szabályos?

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

A feladat kérdésére a válasz: nem. Az alábbiakban példát adunk egy nem szabályos tetraéderre, amely teljesíti a feladat feltételét.

 
 

Legyen ABCD egy négyzet, ABCDEFGH pedig egy erre épített egyenes hasáb, amely nem kocka (ABAE). Ekkor az ACFH tetraéder nem szabályos, hiszen AC=HFAF=AH=CF=CH. A hasáb szemközti lapjainak középpontjait összekötő t1, t2, t3 tengelyekre való tükrözések a tetraédert önmagába viszik, sőt a tükrözésekkel tetszőleges csúcsot tetszőleges másikba átvihetünk (At3Ct2Ft3Ht2A), így tetszőleges magasságszakaszt is átvihetünk tetszőleges magasságszakaszba. A tükrözéseknél a tetraéder képe önmaga, ezért a beírt gömbjének a képe is önmaga. Ez viszont azt mutatja, hogy az egyes magasságszakaszoknak a beirt gömbbe eső részei a tükrözésekkel egymásba átvihetők, tehát egyenlő hosszúak.
 

Megjegyzések. 1. Ellenpéldánk lapjai egybevágó egyenlő szárú háromszögek. Speciális esete az egyenlő szárú tetraédernek, de mégsem szabályos.
2. Tanulságos e feladatot összevetni a Gy. 2690. gyakorlattal (1992/1. szám, 26. old.), ahol síkban, a magasságvonalak beírt körbe eső szakaszainak egyenlőségéből következett a háromszög szabályossága.