|
Feladat: |
Gy.2701 |
Korcsoport: 16-17 |
Nehézségi fok: nehéz |
Megoldó(k): |
Csörnyei Marianna , Futó Gábor , Galambos István , Kálmán Tamás , Kerekes Balázs , Marx Gábor , Megyesi Zoltán , Molnár-Sáska Gábor , Németh Ákos , Párniczky Benedek , Rákóczi Bálint , Róka Dániel , Szendrei Tamás , Szeredi Tibor , Veres Gábor |
Füzet: |
1993/január,
17 - 18. oldal |
PDF | MathML |
Témakör(ök): |
Párhuzamos szelők tétele, Háromszögek szerkesztése, Gyakorlat |
Hivatkozás(ok): | Feladatok: 1991/április: Gy.2701 |
|
A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre. Tekintsük a feladatot megoldottnak. Jelöljük a három félegyenest , , -vel, a közös végpontjukat -val, a három szögtartományban adott pontokat pedig az 1.ábrán látható elhelyezkedés szerint , , -rel. Húzzunk -n és -en át párhuzamosokat -vel, messék ezek -t és -t -ban, illetve -ben, végül és metszéspontját jelöljük -vel.
1. ábra
2. ábra Legyen olyan pontja a félegyenesnek, amelyre metszi -t, pedig metszi -t. (Ez teljesül, ha ,,elég messze'' van -tól.) Legyen a két metszéspont , illetve (2. ábra). Megmutatjuk, hogy az egyenes ‐ helyzetétől függetlenül ‐ mindig átmegy -n. Jelöljük és metszéspontját -vel. Bebizonyítjuk, hogy . Legyen az , és egymással párhuzamos egyeneseknek -vel való metszéspontja rendre , és . Mivel és , ezért | | Átrendezve . Másrészt és az szög, és pedig az szög párhuzamos szelői, ezért | | Ez utóbbi viszont csak akkor teljesülhet, ha . Tehát mindig átmegy -n. Ezek alapján a szerkesztés menete a következő: és ismeretében megszerkesztjük a pontot. A egyenes kimetszi az és félegyenesekből az és pontokat, végül és közös pontja lesz . A párhuzamos szelők tételének segítségével könnyen belátható, hogy az így szerkesztett háromszög oldala átmegy -n, tehát a háromszög eleget tesz a feladat feltételeinek. (Ha az és egyenesek párhuzamosak, akkor a szerkesztésben szerepét a -n átmenő, -val párhuzamos egyenes veszi át.) A feladatnak mindig egy megoldása van, hacsak az adódó pontpárra és .
Róka Dániel (Budapest, Szt.István Gimn., II. o. t.) dolgozata alapján
Megjegyzések 1. A megoldás során nem használtuk ki, hogy a szögtartományok -osak. Ez a feltétel csak a diszkussziót teszi egyszerűvé. 2. Feladatunk tulajdonképpen a következő egyszerű térgeometriai feladat síkra vetített változata: Adott egy kocka három szomszédos lapján a , és pont. Szerkesszük meg a három lap közös csúcsából kiinduló három élen az , , pontokat úgy, hogy az háromszög oldalai átmenjenek a , , pontokon (3. ábra).
3. ábra Ennek megoldása egyszerű: a sík kimetszi az élekből az , , pontokat. Viszont ez a megoldás mutatja az eredeti megoldásunkban nagyon fontos pont szerepét: nem más, mint az egyenesnek és a kocka -t tartalmazó lapjának a döféspontja, ezt -val, -nak azon a lapon lévő vetületével metszettük ki.
|
|