A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre. I. megoldás. Nem következik. Egyszerűen konstruálhatunk ellenpéldát:
1. ábra Tekintsük az szabályos háromszöget és a körülírt körét. Legyenek a , , pontok rendre a kisebbik , , íveknek a felezőponttól különböző pontjai (1. ábra). Ekkor az négyszög húrnégyszög, tehát . Hasonlóan látható be, hogy . Vagyis az hatszögnek (legalább) három -os szöge van, de nem szabályos, mert például . (Tulajdonképpen az is elég, ha , , közül csak egyik különböző a felezőponttól.)
Megjegyzés: Könnyen látható, hogy ha a (nem egyenlő szárú) , , háromszögek egybevágóak és azonos körüljárásúak, akkor hatszögünk valamennyi szöge -os, és az mégsem szabályos.
II. megoldás. A feladatot a következő, általános esetben oldjuk meg: Egy körbe írt -szögnek minden szöge egyenlő. Következik-e ebből, hogy a sokszög szabályos? Először megmutatjuk, ha páratlan, akkor a válasz igenlő. Tudjuk, hogy egy (konvex) -szög belső szögeinek összege , ezért ha minden szög egyenlő, akkor minden szög . Ha a sokszöget jelöli , akkor .
2. ábra A sokszög köré írt körben az , , , , húrokhoz ugyanakkora kerületi szög tartozik, vagyis ezek a húrok egyenlő hosszúak; jelöljük ezt a hosszúságot -vel (2. ábra). Ha tehát az pontból kiindulva egy irányba haladva mindig távolságot mérünk fel a körvonalra, akkor rendre az , , , , , , , pontokat kapjuk, vagyis meg tudjuk szerkeszteni a sokszöget. Viszont tudjuk, hogy a szabályos -szögnek is minden szöge , ezért a szerkesztés során kapott sokszög csak szabályos lehet. Ezzel beláttuk, hogy ha páratlan, akkor a kérdésre ,,igen'' a válasz. Ha páros, akkor viszont a válasz nemleges. Az I. megoldásban leírthoz hasonlóan konstruálunk ellenpéldát. Legyen , írjunk egy körbe két szabályos -szöget úgy, hogy azok ne legyenek a kör középpontja körül nagyságú szöggel egymásba forgathatók. Ez azt jelenti, hogy az egyik -szög bármely oldalához tartozó kisebbik ív felezőpontja nem csúcsa a másik -szögnek. Ezen az íven a másik -szögnek nyilván pontosan egy csúcsa van, amire az előbbiek szerint , viszont (3.ábra).
3. ábra A két -szög csúcsainak konvex burkaként kapott -szögnek tehát minden szöge egyenlő, de oldalai között vannak különbözőek.
Kálmán Tamás (Fazekas M. Főv. Gyak. Gimn., II. o. t.) |
|