Kezdőlap


Feladat:	Gy.2695	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Róka Dániel
Füzet:	1991/november, 396 - 397. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Irracionális egyenlőtlenségek, Számtani-mértani egyenlőtlenségek, Gyakorlat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1991/április: Gy.2695

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Tekintsük az alábbi öt számot:

\begin{matrix} \sqrt[]{a}, \sqrt[]{a}, \sqrt[3]{b}, \sqrt[3]{b}, \sqrt[3]{b} (a, b > 0) . \end{matrix}

Ezek számtani közepe:

\begin{matrix} A = \frac{\sqrt[]{a} + \sqrt[]{a} + \sqrt[3]{b} + \sqrt[3]{b} + \sqrt[3]{b}}{5} = \frac{2 \sqrt[]{a} + 3 \sqrt[3]{b}}{5}, \end{matrix}

mértani közepük pedig

\begin{matrix} G = \sqrt[5]{\sqrt[]{a} \sqrt[]{a} \sqrt[3]{b} \sqrt[3]{b} \sqrt[3]{b}} = \sqrt[5]{{(\sqrt[]{a})}^{2} {(\sqrt[3]{b})}^{3}} = \sqrt[5]{a \cdot b} . \end{matrix}

A mértani és számtani közép közötti egyenlőtlenség szerint

\begin{matrix} \frac{2 \sqrt[]{a} + 3 \sqrt[3]{b}}{5} ≧ \sqrt[5]{a \cdot b} . \end{matrix}

Ha az így kapott egyenlőtlenség mindkét oldalát megszorozzuk

5

-tel, éppen a bizonyítandó állításhoz jutunk.
(Egyenlőség csak akkor áll fenn, ha

\sqrt[]{a} = \sqrt[3]{b}

, azaz

a \sqrt[]{a} = b

Megjegyzés. Ugyanezzel a módszerrel általánosíthatjuk az állítást, bebizonyíthatjuk az alábbi egyenlőtlenséget:

\begin{matrix} k_{1} \cdot \sqrt[k_{1}]{a_{1}} + k_{2} \cdot \sqrt[k_{2}]{a_{2}} + ... + k_{n} \cdot \sqrt[k_{n}]{a_{n}} ≧ k \sqrt[k]{a_{1} \cdot a_{2} \cdot ... \cdot a_{n}}, \end{matrix}

ahol

k = k_{1} + k_{2} + ... + k_{n}

(

k_{i}

pozitív egész,

a_{i}

pozitív).

Róka Dániel (Bp., Szent István Gimn.,II. o. t.) dolgozata alapján