Kezdőlap


Feladat:	Gy.2691	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Győry Máté , Marx Gábor , Molnár-Sáska Gábor , Szeidl Ádám
Füzet:	1992/november, 372 - 373. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Háromszögek egybevágósága, Pont körüli forgatás, Körülírt kör, Trapézok, Síkgeometriai bizonyítások, Gyakorlat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1991/március: Gy.2691

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Két esetet különböztetünk meg aszerint, hogy a háromszögek egymáshoz képest milyen körüljárásúak.

1. ábra

Ha a két háromszög megegyező körüljárású, akkor az egyik háromszög a másik elforgatottja a köréjük írt kör

O

középpontja körül (1. ábra). Megmutatjuk, hogy ebben az esetben

F_{1} F_{2}

is és

G_{1} G_{2}

is átmegy

B_{1} B_{2}

felezőpontján. Mivel

A_{1} B_{1} = A_{2} B_{2}

, azért

A_{1} B_{1} A_{2} B_{2}

szimmetrikus trapéz (esetleg hurkolt, esetleg egyenlő szárú háromszög),

F_{1} F_{2}

pedig ennek középvonala. Az

A_{1} B_{1} B_{2}

háromszög

A_{1} B_{2}

-vel párhuzamos középvonala átmegy

F_{1}

-en, tehát egybeesik

F_{1} F_{2}

-vel. Ezért

F_{1} F_{2}

felezi

B_{1} B_{2}

-t, és ugyanígy bizonyítható, hogy

G_{1} G_{2}

is felezi

B_{1} B_{2}

-t.

2. ábra

Ha a két háromszög ellentétes körüljárású, akkor

A_{1} B_{1} = A_{2} B_{2}

és

B_{1} C_{1} = B_{2} C_{2}

miatt az

A_{1} B_{1} B_{2} A_{2}

és a

C_{1} B_{1} B_{2} C_{2}

négyszög szimmetrikus trapéz.

F_{1} F_{2}

és

G_{1} G_{2}

e két trapéz középvonala, ezért mindkettő párhuzamos

B_{1} B_{2}

-vel (2. ábra).

Szeidl Ádám (Miskolc, Földes F. Gimn., I. o. t.) dolgozata alapján

Megjegyzés. Az első esetben, ha a háromszögek egybevágóak és egymáshoz képest

180^{\circ}

-kal vannak elfordulva, akkor az

F_{1} F_{2}

egyenes határozatlan, de az állítás igaz.