Kezdőlap


Feladat:	Gy.2688	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Faragó Gergely , Győry Máté , Megyesi Zoltán , Urbán Péter
Füzet:	1991/november, 394 - 395. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Nevezetes azonosságok, Prímtényezős felbontás, Gyakorlat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1991/március: Gy.2688

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Jelöljük az $1991^{m} - 1$ szám törzstényezős felbontásában a $2$ kitevőjét $f (m)$ -mel. Ha $m = 2^{k} \cdot p$ alakú, ahol a $p$ páratlan szám, akkor $(1991^{m} - 1)$ -et két $p$ -edik hatvány különbségeként szorzattá alakítva az első tényező $(1991^{2^{k}} - 1)$ , a második tényező pedig páratlan, így $f (m) = f (2^{k})$ , ahol tehát a $k$ a $2$ kitevője az $m$ prímfelbontásában.
Mármost $1991^{2^{k}} - 1$ szorzattá alakítható a következőképpen:

\begin{matrix} (1991^{2^{k - 1}} + 1) (1991^{2^{k - 2}} + 1) ... (1991 + 1) (1991 - 1) . & (1) \end{matrix}

r > 0

és páros, akkor

1991^{r} + 1

osztható

2

-vel, de

4

-gyel nem, hiszen

1991^{r} + 1 = {(1992 - 1)}^{r} + 1

4

-gyel osztva

2

maradékot ad. Mivel

1992 = 2^{3} \cdot 249, 1990 = 2 \cdot 995

, ezért a fentiek alapján

\begin{matrix} f (2^{k}) = {\begin{matrix} 1, & ha k = 0, \\ k + 3, & ha k > 0. \end{matrix} \end{matrix}

Ez azt jelenti, hogy ha

k

jelöli az

m

kitevő prímtényezős felbontásában a

2

kitevőjét, akkor

k = 0

‐ tehát páratlan

m

kitevő esetén ‐ a keresett

f (m)

kitevő értéke

1

, egyébként pedig

k + 3