Feladat: Gy.2683 Korcsoport: 16-17 Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):  Párniczky Benedek 
Füzet: 1992/november, 369 - 370. oldal  PDF  |  MathML 
Témakör(ök): Húrnégyszögek, Érintőnégyszögek, Ellenpélda, mint megoldási módszer a matematikában, Körök, Síkgeometriai bizonyítások, Gyakorlat
Hivatkozás(ok):Feladatok: 1991/február: Gy.2683

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

A feladat állítása nem igaz. Az alábbiakban egy-egy ellenpéldát adunk az állítás mindkét felére.

 
 

1. ábra
 

Tekintsünk egy 5 egység oldalú négyzetet, amelynek csúcsai O1, O2, O3, O4. Rajzoljunk O1 és O3 körül 2 egység, O2 és O4 körül pedig 3 egység sugarú köröket, ezek érintési pontjai legyenek E, F, G és H (1. ábra). Az O1EF, O2FG, O3GH, O4HE derékszögű háromszögek egyenlő szárúak, ezért az EFGH négyszög minden szöge 180∘-2⋅45∘=90∘, tehát EFGH téglalap. Viszont EF=2⋅O1F=22≠32=2⋅O2F=FG, tehát EFGH nem négyzet, vagyis átlói nem merőlegesek. Ezért az O1O2O3O4 húrnégyszög cáfolja a feladat állításának ,,csak akkor'' felét.
Az állítás ,,akkor'' felének cáfolatára tekintsük a következő példát: Legyen az O1O2O3O4 rombusz minden oldala 23+2 egység, hegyes szöge 60∘. Rajzoljunk O1 és O3 körül 2 egység, O2 és O4 körül pedig 23 egység sugarú köröket, ezek érintési pontjai legyenek E, F, G és H (2. ábra).
 
 

2. ábra
 

Az O1O2O3O4 rombusz nem húrnégyszög, hiszen szemközti szögeinek összege 120∘, illetve 240∘, az EFGH négyszög viszont négyzet, mert minden szöge 90∘ (pl. HEF∢=180∘-(HEO1∢+FEO2∢)=180∘-(180∘-60∘2+180∘-120∘2)=90∘), és HE=O1H=2=2⋅23⋅32=2EO2⋅32=EF.
Ezzel megmutattuk, hogy a feladat állításának egyik fele sem igaz.
 

Megjegyzés. A feladat, sajnos, tévesen került kitűzésre.
Egy érintőnégyszög pontosan akkor húrnégyszög, ha a beírt kör szemben lévő érintési pontjait összekötő húrpár merőleges egymásra.
A feladatban szereplő O1O2O3O4 négyszög, bár érintőnégyszög, de a beírt kör érintési pontjai, mint láttuk, általában nem esnek egybe a négy kör érintési pontjaival, így az előbb említett állítás (aminek alkalmazása lett volna a feladat) most nem alkalmazható.