Kezdőlap


Feladat:	Gy.2680	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Füzet:	1992/január, 24 - 25. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Algebrai átalakítások, Negyedfokú (és arra visszavezethető) egyenletrendszerek, Gyakorlat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1991/február: Gy.2680

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Oldjuk meg az alábbi egyenletrendszert:

\begin{matrix} x^{4} - x^{2} y^{2} - x^{2} z^{2} + y^{2} z^{2} = 0, & (1) \\ x^{3} - y^{3} - z^{3} = 0, & (2) \\ x + y + z = 1. & (3) \end{matrix}

Alakítsuk szorzattá az első egyenlet baloldalát:

\begin{matrix} x^{4} - x^{2} y^{2} - x^{2} z^{2} + y^{2} z^{2} & = 0, \\ (x^{2} - y^{2}) (x^{2} - z^{2}) & = 0, \\ (x + y) (x - y) (x + z) (x - z) & = 0. \end{matrix}

E szorzat értéke akkor nulla, ha az egyik tényező nulla. Ez négy esetet jelent. Ha azonban észrevesszük, hogy az

y

és a

z

szerepe szimmetrikus (felcserélhető) mindhárom egyenletben, akkor elég csupán két esetet megvizsgálni, és a kapott eredményt kiterjeszteni a másik kettőre. Nézzük e két esetet.

x + y = 0

, vagyis

x = - y

Ebben az esetben a (3) egyenletből

z = 1

adódik. Felhasználva, hogy

x^{3} = - y^{3}

, a (2) egyenletből

y = \sqrt[3]{\frac{1}{2}} .

A feltételből pedig

x = \sqrt[3]{\frac{1}{2}}

adódik.

x - y = 0,

vagyis ha

x = y .

Felhasználva, hogy

x^{3} = y^{3}

, a második egyenletből

z = 0

-t kapunk. Ezt felhasználva, mivel

x = y

, a (3) egyenletből:

x = y = \frac{1}{2} .

Így kaptunk két megoldást, amelyek jók. (Akár ellenőrzésre, akár az ekvivalens átalakításokra hivatkozhatunk.) Alkalmazva, hogy az

y

felcserélhető

z

-vel az összes megoldást a következő táblázatban írjuk fel.

x y z

\begin{matrix} \begin{matrix} 1 & \frac{1}{2} & \frac{1}{2} & 0 \\ 2 & \frac{1}{2} & 0 & \frac{1}{2} \\ 3 & \sqrt[3]{\frac{1}{2}} & \sqrt[3]{- \frac{1}{2}} & 1 \\ 4 & \sqrt[3]{\frac{1}{2}} & 1 & \sqrt[3]{- \frac{1}{2}} \end{matrix} \end{matrix}