Kezdőlap


Feladat:	Gy.2679	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: nehéz
Füzet:	1992/január, 23 - 24. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Konstruktív megoldási módszer, Oszthatóság, Teljes indukció módszere, Gyakorlat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1991/február: Gy.2679

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Minden $n ≧ 2$ esetén megadunk $n$ különböző pozitív egész számot úgy, hogy teljesüljön rájuk a feltétel. A számokat az n-re vonatkozó teljes indukcióval állítjuk elő.

n = 2

, akkor az 1, 2 számokra nyilván teljesül a feltétel. Legyen most

n ≧ 2

, és tegyük fel, hogy a különböző

a_{1}, a_{2}, ..., a_{n}

pozitív egészekre fennáll, hogy

\begin{matrix} (a_{i} - a_{j}) | (a_{i} + a_{j}) \end{matrix}

minden

1 ≦ i < j ≦ n

esetén. Megmutatjuk, hogy e számok felhasználásával miképpen adható meg

(n + 1)

darab megfelelő pozitív egész.
Válasszuk ki az

a_{1}, a_{2}, ..., a_{n}

számok egy olyan

K

közös többszörösét, amely ezen kívül még a fenti

a_{i}

számok közül bármelyik kettőnek a különbségével is osztható. Ilyen

K

szám nyilván létezik, például ha

m

jelöli a fenti

a_{i}

számok legnagyobbikát, akkor

K = m!

megfelelő.

Legyen ezután

b_{i} = a_{i} + K

, ha

1 ≦ i ≦ n

és legyen még

b_{n + 1} = K

. Ezek a számok,

b_{1}, b_{2}, ..., b_{n}, b_{n + 1}

, nyilván különböző pozitív egészek.
Ha max

(i, j) ≦ n

, akkor

\begin{matrix} b_{i} - b_{j} = a_{i} - a_{j} és b_{i} + b_{j} = a_{i} + a_{j} + 2 K, \end{matrix}

illetve

\begin{matrix} b_{i} - b_{n + 1} = a_{i} és b_{i} + b_{n + 1} = a_{i} + 2 K . \end{matrix}

Mivel

K

többszöröse

(a_{i} - a_{j})

-nek és

a_{i}

-nek, ezért az indukciós feltételt is használva

\begin{matrix} (a_{i} - a_{j}) | (a_{i} + a_{j} + 2 K), \end{matrix}

illetve a nyilvánvaló

a_{i} | a_{i}

miatt

\begin{matrix} a_{i} | (a_{i} + 2 K); \end{matrix}

a megadott

b_{i}

számok tehát valóban megfelelők.

Megjegyzés. Mivel egy megfelelő szám-

n

-es minden részhalmaza is ilyen, ezért minden szám-

n

-es megkapható a feladat konstrukciójától eltérő módon is: úgy, hogy egyetlen számból kiindulva újabb és újabb számokkal bővítjük az addig meglévő számok halmazát úgy, hogy eközben az előírt oszthatóságok mindegyike teljesüljön.

Ebből azonban még nem következik, hogy egy megfelelő szám-

n

-es tovább bővíthető. A megoldás során sem tettük ezt, mert nem is tehettük volna: ez az állítás ugyanis nem igaz. Ellenkező esetben ugyanis léteznie kellene végtelen elemű megfelelő számhalmaznak is, ilyen azonban nyilván nincsen. Ha ugyanis

t

egy ilyen halmaz tetszőleges eleme lenne, akkor az előírt

\begin{matrix} (a_{i} - t) | (a_{i} + t), \end{matrix}

illetve a nyilvánvaló

\begin{matrix} (a_{i} - t) | (a_{i} + t), \end{matrix}

oszthatóságokból

(a_{i} - t) | 2 t

következik, és ez csak véges sok

a_{i}

-re teljesülhet, ha

t \neq 0