Feladat: Gy.2678 Korcsoport: 16-17 Nehézségi fok: könnyű
Füzet: 1992/január, 23. oldal  PDF  |  MathML 
Témakör(ök): Másodfokú (és arra visszavezethető) egyenletek, Paraméteres egyenletek, Gyökök és együtthatók közötti összefüggések, Másodfokú (és arra visszavezethető) egyenlőtlenségek, Gyakorlat
Hivatkozás(ok):Feladatok: 1991/február: Gy.2678

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

A gyökök és együtthatók közötti összefüggés szerint az adott egyenletben

x1+x2=x1,x2,
tehát a bizonyítandó egyenlőtlenség jobb oldalán 2x1x2 áll, és így az ekvivalens a nyilván teljesülő
x12+x22-2x1x2=(x1-x2)2≧
egyenlőtlenséggel.
 

Megjegyzés. Az is látható, hogy a bizonyítandó egyenlőtlenségben pontosan akkor van egyenlőség, ha x1=x2 (ami éppen t=0 és t=4 esetében teljesül), illetve ha a gyökök nem valósak, akkor x1-x2 képzetes szám, és így a négyzete negatív. A feladat állítása tehát úgy pontosítható, hogy a bizonyítandó egyenlőtlenség akkor és csak akkor teljesül, ha az x2-tx+t=0 egyenlet gyökei valós számok.