Kezdőlap


Feladat:	Gy.2672	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Ágoston Hugó-Attila , Kerekes Balázs , Megyesi Zoltán
Füzet:	1992/január, 18. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Egyenletrendszerek, Gyakorlat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1991/január: Gy.2672

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Szorozzuk meg az első egyenletet $y -$ nal, a másodikat pedig $x$ -szel és adjuk össze az így nyert egyenleteket: ekkor a meglepően egyszerű

\begin{matrix} x y + 1 = y \end{matrix}

(1)

összefüggést kapjuk.
Rendezzük ezután úgy a második egyenletet, hogy a behelyettesítés minél egyszerűbb legyen:

\begin{matrix} x (x y + 2) + y^{3} - y = 0. \end{matrix}

A bal oldalon kétszer alkalmazzuk az (1)-ből nyert

\begin{matrix} x y = y - 1 \end{matrix}

feltételt, így végül

\begin{matrix} y^{3} + x - 1 = 0 \end{matrix}

(2)

adódik. Felhasználva még az ugyancsak (1)-ből ‐ a nyilván lehetetlen

y = 0

kizárásával ‐ kapható

\begin{matrix} x = 1 - \frac{1}{y} \end{matrix}

(3)

összefüggést, (2) az

\begin{matrix} y^{3} - \frac{1}{y} = 0 \end{matrix}

alakot ölti, ahonnan azonnal kapjuk, hogy

y = 1

vagy

y = - 1

. Az első esetben (3) szerint

x = 0

, a másodikban pedig

x = 2

. (A valós számokra szorítkozunk.)
Az átalakításokat átgondolva látható, hogy mindkét számpár az eredeti egyenletnek is megoldása, de erről behelyettesítéssel is könnyen meggyőződhetünk.
Az egyenletrendszernek tehát két megoldása van:

\begin{matrix} \begin{matrix} x = 0; y = 1 & és \\ x = 2; y = - 1. \end{matrix} \end{matrix}