Kezdőlap


Feladat:	Gy.2670	Korcsoport: 14-15	Nehézségi fok: átlagos
Füzet:	1991/november, 392. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Algebrai átalakítások, Egyenlőtlenségek, Gyakorlat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1991/január: Gy.2670

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

I. megoldás. Azt kell igazolnunk, hogy ha $a$ és $b$ nagyobbak $\frac{1}{2}$ -nél, akkor

\begin{matrix} f (a; b) = 5 a b - a - 2 b + \frac{1}{4} > 0. \end{matrix}

Alakítsuk át a bal oldalt:

\begin{matrix} f (a; b) = (a - \frac{1}{2}) (b - \frac{1}{2}) + 4 a b - \frac{1}{2} a - \frac{3}{2} b . \end{matrix}

Az összeg első tagjában a feltétel szerint mindkét tényező pozitív. A következő tagokat alakítsuk tovább

\begin{matrix} 4 a b - \frac{1}{2} a - \frac{3}{2} b = a b - \frac{1}{2} a + 3 a b - \frac{3}{2} b = a (b - \frac{1}{2}) + 3 b (a - \frac{1}{2}) . \end{matrix}

Újra felhasználva a feltételt látható, hogy minden tag pozitív, és így a bizonyítást befejeztük.

II. megoldás. Mivel

b > \frac{1}{2}

miatt

5 b - 1 > 0

, a bizonyítandó állítás rendezés után a

\begin{matrix} \frac{2 b - \frac{1}{4}}{5 b - 1} < a \end{matrix}

(1)

alakba írható. Ezek után elegendő azt igazolnunk, hogy (1) bal oldalán

\frac{1}{2}

-nél kisebb mennyiség áll, azaz

\begin{matrix} \frac{2 b - \frac{1}{4}}{5 b - 1} < \frac{1}{2} . \end{matrix}

Rendezés után erre az

\frac{1}{2} < b

feltétel adódik, ami feltevésünk szerint teljesül.