Feladat: Gy.2667 Korcsoport: 16-17 Nehézségi fok: átlagos
Füzet: 1991/október, 313 - 315. oldal  PDF  |  MathML 
Témakör(ök): Derékszögű háromszögek geometriája, Diszkusszió, Négyszögek szerkesztése, Gyakorlat
Hivatkozás(ok):Feladatok: 1990/december: Gy.2667

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Tekintsük a feladatot megoldottnak. Jelöljük a négy merőleges talppontját TA, TB, TC, TD-vel. A BTBD és a BTDD szögek a TB és a TD pontok definíciójából következően derékszögek, ezért a TB és TD pontok rajta vannak a BD szakasz Thalész körén. A TBTD szakasz ennek a körnek húrja, BD pedig átmérője, így TBTD felező merőlegese átmegy BD felezőpontján.

 
 

Ezek alapján a szerkesztés a következőképpen indul: Megszerkesztjük a TBTD szakasz felező merőlegesének és a BD átló egyenesének O metszéspontját. Az O középpontú, OTB sugarú kör kimetszi a BD átló egyeneséből a B és D csúcsokat. A DTB és a BTC egyenesek metszéspontja adja a négyszög A, a BTD és az AB-re TC-ben állított merőleges egyenesek metszéspontja pedig a négyszög C csúcsát.
 

A szerkesztésböl következik, hogy TB, TC és TD megegyezik a B-ből DA-ra, C-ből AB-re és D-ből BC-re bocsátott merőlegesek talppontjával. A TA pontot viszont a szerkesztésnél nem használtuk, a négyszöget meghatározza a BD egyenes és a TB, TC, TD pontok megadása. Ezért a feladatnak csak akkor van megoldása, ha az ezen adatokból szerkesztett ABCD négyszögben az A-ból CD-re bocsátott merőleges talppontja egybeesik az adott TA ponttal. Ezt az illeszkedési feltételt minden esetben külön meg kell vizsgálnunk. A B és a D pontoknak elvben 0, 2 vagy végtelen sok lehetséges helyzete van, attól függően, hogy TBTD felező merőlegese és a BD egyenes párhuzamos (ekkor 0), metszi egymást (ekkor az O középpontú, OTB sugarú kör és a BD egyenes mindkét metszéspontja lehet B is és D is), vagy egybeesik (ekkor O tetszőleges). A megoldások száma azonban minden esetben 0 vagy 1.
 

Megjegyzések. 1. A szerkesztési feladatokhoz mindig hozzátartozik annak a vizsgálata, bogy a megszerkesztett alakzat mindenben eleget tesz-e a feladat feltételeinek. Ebben a feladatban ezt a beküldők nagy része elmulasztotta, nem vette észre, bogy a feladat a szükségesnél eggyel több adatot tartalmaz, ezért általában megoldhatatlan. Akik ezt elmulasztották, azok megoldása hiányos.
 

2. Más gondolatmenetek annak felismerésére, bogy "az adatok'' összeférhetetlenek, vagy "számfölötti'' van köztük.
 

A B és D csúcsok ismeretében egyszerre vált lehetővé a négy oldalegyenes berajzolása, a BTD, azaz BC, a BTC, azaz BA, a DTA, azaz DC és a DTB, azaz DA egyenesé. Ezek páronként egyértelműen kijelölnek egy-egy pontot A, ill. C szerepére, de kérdés marad, hogy az így adódó ATA, CTC egyenes valóban merőleges-e CD-re, ill. AB-re.
 

Változat a megoldásbeli úthoz csatlakozva: a C csúcs meghatározásához harmadik "ajánlkozóként'' fellép az AB-re TC-ben emelt merőleges (itt az A-t előbb kaptuk). Ha ez a trió egy ponton megy át, akkor az egyikük fölösleges, különben pedig ellentmondás lép fel.
 

3. A diszkussziót elmulasztók némi "mentségére'' fel lehet hozni, hogy 1+4=5 adat volt, mint amennyi akkor szükséges, ha méretes adatokból, szögekből és hosszúságokból szerkesztünk négyszöget (az egyik átló révén keletkezett háromszögek közül az elsőhöz 3, a másodikhoz a közös oldal miatt csak 2). Persze, ha a követelményben előfordul a deltoid, trapéz, paralelogramma, rombusz, téglalap vagy négyzet szó valamelyike, vagy valamiféle módon a "derékszög'' szó, emiatt a szükséges adatok száma csökken. Ebben a feladatban a "merőleges'' szóval szintén volt szög-követelmény is, de illeszkedési, helyzeti előírás is, az átló egyenese pedig kizárólag helyzeti követelmény.
Ilyenkor mindig az a "nagyobb szabály'' lép érvénybe, hogy esetenként alkalmas módon egybe kell vetni a követelményeket.