A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre. Tekintsük a feladatot megoldottnak. Jelöljük a négy merőleges talppontját , , , -vel. A és a szögek a és a pontok definíciójából következően derékszögek, ezért a és pontok rajta vannak a szakasz Thalész körén. A szakasz ennek a körnek húrja, pedig átmérője, így felező merőlegese átmegy felezőpontján.
Ezek alapján a szerkesztés a következőképpen indul: Megszerkesztjük a szakasz felező merőlegesének és a átló egyenesének metszéspontját. Az középpontú, sugarú kör kimetszi a átló egyeneséből a és csúcsokat. A és a egyenesek metszéspontja adja a négyszög , a és az -re -ben állított merőleges egyenesek metszéspontja pedig a négyszög csúcsát.
A szerkesztésböl következik, hogy , és megegyezik a -ből -ra, -ből -re és -ből -re bocsátott merőlegesek talppontjával. A pontot viszont a szerkesztésnél nem használtuk, a négyszöget meghatározza a egyenes és a , , pontok megadása. Ezért a feladatnak csak akkor van megoldása, ha az ezen adatokból szerkesztett négyszögben az -ból -re bocsátott merőleges talppontja egybeesik az adott ponttal. Ezt az illeszkedési feltételt minden esetben külön meg kell vizsgálnunk. A és a pontoknak elvben , vagy végtelen sok lehetséges helyzete van, attól függően, hogy felező merőlegese és a egyenes párhuzamos (ekkor ), metszi egymást (ekkor az középpontú, sugarú kör és a egyenes mindkét metszéspontja lehet is és is), vagy egybeesik (ekkor tetszőleges). A megoldások száma azonban minden esetben vagy .
Megjegyzések. 1. A szerkesztési feladatokhoz mindig hozzátartozik annak a vizsgálata, bogy a megszerkesztett alakzat mindenben eleget tesz-e a feladat feltételeinek. Ebben a feladatban ezt a beküldők nagy része elmulasztotta, nem vette észre, bogy a feladat a szükségesnél eggyel több adatot tartalmaz, ezért általában megoldhatatlan. Akik ezt elmulasztották, azok megoldása hiányos.
2. Más gondolatmenetek annak felismerésére, bogy "az adatok'' összeférhetetlenek, vagy "számfölötti'' van köztük.
A és csúcsok ismeretében egyszerre vált lehetővé a négy oldalegyenes berajzolása, a , azaz , a , azaz , a , azaz és a , azaz egyenesé. Ezek páronként egyértelműen kijelölnek egy-egy pontot , ill. szerepére, de kérdés marad, hogy az így adódó , egyenes valóban merőleges-e -re, ill. -re.
Változat a megoldásbeli úthoz csatlakozva: a csúcs meghatározásához harmadik "ajánlkozóként'' fellép az -re -ben emelt merőleges (itt az -t előbb kaptuk). Ha ez a trió egy ponton megy át, akkor az egyikük fölösleges, különben pedig ellentmondás lép fel.
3. A diszkussziót elmulasztók némi "mentségére'' fel lehet hozni, hogy adat volt, mint amennyi akkor szükséges, ha méretes adatokból, szögekből és hosszúságokból szerkesztünk négyszöget (az egyik átló révén keletkezett háromszögek közül az elsőhöz 3, a másodikhoz a közös oldal miatt csak 2). Persze, ha a követelményben előfordul a deltoid, trapéz, paralelogramma, rombusz, téglalap vagy négyzet szó valamelyike, vagy valamiféle módon a "derékszög'' szó, emiatt a szükséges adatok száma csökken. Ebben a feladatban a "merőleges'' szóval szintén volt szög-követelmény is, de illeszkedési, helyzeti előírás is, az átló egyenese pedig kizárólag helyzeti követelmény. Ilyenkor mindig az a "nagyobb szabály'' lép érvénybe, hogy esetenként alkalmas módon egybe kell vetni a követelményeket. |