Kezdőlap


Feladat:	Gy.2662	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Füzet:	1991/szeptember, 261 - 262. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Oszthatóság, Számsorozatok, Gyakorlat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1990/december: Gy.2662

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Ha $x$ pozitív egész, akkor $x$ pontosan akkor osztható $5$ -tel, ha $x / 2$ , illetve $x + 5$ ilyen. Ez azt jelenti, hogy ha $k$ osztható $5$ -tel, akkor a sorozat elemei is ilyenek, így nem szerepel közöttük az $1$ .
Tegyük fel ezután, hogy $k$ nem osztható $5$ -tel; így a sorozat egyetlen további eleme sem. A sorozat elemei pozitív egészek, van tehát közöttük legkisebb: legyen ez $m$ . Az $m$ most $5$ -tel nem osztható pozitív egész, továbbá nyilván páratlan, hiszen különben $m / 2$ volna a rákövetkezője és ez kisebb $m$ -nél.
Így $m$ rákövetkezője a páros $m + 5$ , ezután pedig $(m + 5) / 2$ következik, és így az $m$ kiválasztása szerint

\begin{matrix} m ≦ \frac{m + 5}{2}, \end{matrix}

ahonnan

m ≦ 5.

A talált feltétel két

5

-tel nem osztható páratlan számra teljesül: ezek a

3

és az

1

. A

3

viszont nem lehet ennek a sorozatnak a legkisebb eleme, hiszen ha

a_{n} = 3

, akkor

a_{n + 3} = 2

. Ez azt jelenti, hogy

5 ∤ k

esetben

m = 1

, azaz pontosan akkor fordul elő a sorozat elemei között az

1

, ha

k

nem osztható

5

-tel.

Megjegyzés A megoldásból az is következik, hogy

5 | k

esetén a sorozat elemei között előfordul az

5

, ilyenkor ez a sorozat minimális eleme.