A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre. Mivel a négyszög szemközti oldalainak merőleges vetületei a két metsző sík mindegyikén párhuzamosak, ezért a négyszög szemközti oldalai is párhuzamosak, tehát a négyszög paralelogramma. Toljuk el a paralelogrammát úgy, hogy az a csúcsa, amelyik a két sík metszésvonalához a legközelebb volt, illeszkedjék a metszésvonalra. A paralelogramma eltoltjának a síkon lévő vetületei egybevágóak az eredeti paralelogramma vetületeivel.
1. ábra Jelöljük a paralelogrammának a két sík metszésvonalán lévő csúcsát -val, az -tól távolságra lévő csúcsát -vel, az -val szomszédos másik csúcsot -vel, az -val szemköztit -vel. A , , pontoknak az egyik síkon lévő merőleges vetületei legyenek , , ; a -nek és -nek a két sík metszésvonalára eső merőleges vetületei pedig és . Végül legyen . Feltételeink szerint és , ezért , így a másik síktól is egység távolságra van, hiszen az szakasz vetülete a másik síkon is hosszúságú; ezért . Az és az háromszögek egybevágóak, mert , és merőleges szárú szögek. Így . Másrészt a pont is azonos távolságra van mindkét síktól, ezért . Vagyis , amiből . A paralelogramma kerülete tehát .
Németh Krisztián (Bp., Fazekas M. Gyak.Gimn., II. o. t.) dolgozata alapján.
Megjegyzések: 1. Csak azt használtuk ki, hogy az háromszög vetülete a két síkon egyenlő szárú derékszögű háromszög. Ebben a felvételben a négyszög benne van a síkpár egyik szögfelező síkjában. A kívánt tulajdonságú csúcs azonban a négyszög és a síkok nem minden lehetséges helyzetében létezik. Éspedig ha a négyszög síkja párhuzamos a két sík másik szögfelező síkjával. Ilyenkor az csúcsokra nézve a két síktól mért távolságok összegei egyenlők (2. ábra). Ilyenkor célszerű áttolni az egyik síkot, hogy menjen át -n (vagy -n).
2. ábra 2. Álláspontunkból nézve a vetületek csúcsainak az és sorrendben való körüljárásai az 1. ábrán ellentétes forgásirányúak, a 2. ábrán egyezőek. 3. Egyszerű számítással meg lehet mutatni, hogy a két irányból is egyenlő hosszúnak látszó és átlók sem egyenlők, . |