Feladat: Gy.2661 Korcsoport: 16-17 Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):  Németh Krisztián 
Füzet: 1991/november, 390 - 392. oldal  PDF  |  MathML 
Témakör(ök): Eltolás, Vetítések, Derékszögű háromszögek geometriája, Hossz, kerület, Térgeometriai számítások trigonometria nélkül, Gyakorlat
Hivatkozás(ok):Feladatok: 1990/november: Gy.2661

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Mivel a négyszög szemközti oldalainak merőleges vetületei a két metsző sík mindegyikén párhuzamosak, ezért a négyszög szemközti oldalai is párhuzamosak, tehát a négyszög paralelogramma. Toljuk el a paralelogrammát úgy, hogy az a csúcsa, amelyik a két sík metszésvonalához a legközelebb volt, illeszkedjék a metszésvonalra. A paralelogramma eltoltjának a síkon lévő vetületei egybevágóak az eredeti paralelogramma vetületeivel.

 
 

1. ábra
 

Jelöljük a paralelogrammának a két sík metszésvonalán lévő csúcsát A-val, az A-tól 5 távolságra lévő csúcsát B-vel, az A-val szomszédos másik csúcsot D-vel, az A-val szemköztit C-vel.  A B, C, D pontoknak az egyik síkon lévő merőleges vetületei legyenek B', C', D'; a B'-nek és D'-nek a két sík metszésvonalára eső merőleges vetületei pedig B'' és D''. Végül legyen AD=α.
Feltételeink szerint AB=5 és AB'=2, ezért BB'=AB2-AB'2=1, így B a másik síktól is 1 egység távolságra van, hiszen az AB szakasz vetülete a másik síkon is 2 hosszúságú; ezért B'B''=1.
Az AB'B'' és az AD'D'' háromszögek egybevágóak, mert AB'=AD'=2, AB''B'=AD''D'=90 és B'AB''=D''D'A merőleges szárú szögek. Így D'D''=B''A=AB'2-B'B''2=3. Másrészt a D pont is azonos távolságra van mindkét síktól, ezért D'D''=D'D=AD2-AD'2=a2-4. Vagyis 3=a2-4, amiből a=7.
A paralelogramma kerülete tehát 2(AB+AD)=2(5+7).
 
Németh Krisztián (Bp., Fazekas M. Gyak.Gimn., II. o. t.) dolgozata alapján.

 

Megjegyzések: 1. Csak azt használtuk ki, hogy az ABD háromszög vetülete a két síkon egyenlő szárú derékszögű háromszög. Ebben a felvételben a négyszög benne van a síkpár egyik szögfelező síkjában. A kívánt tulajdonságú A csúcs azonban a négyszög és a síkok nem minden lehetséges helyzetében létezik. Éspedig ha a négyszög síkja párhuzamos a két sík másik szögfelező síkjával. Ilyenkor az A,B,C,D csúcsokra nézve a két síktól mért távolságok összegei egyenlők (2. ábra). Ilyenkor célszerű áttolni az egyik síkot, hogy menjen át A-n (vagy C-n).
 
 

2. ábra
 

2. Álláspontunkból nézve a vetületek csúcsainak az A'B'C'D' és A*B*C*D* sorrendben való körüljárásai az 1. ábrán ellentétes forgásirányúak, a 2. ábrán egyezőek.
 

3. Egyszerű számítással meg lehet mutatni, hogy a két irányból is egyenlő hosszúnak látszó AC és BD átlók sem egyenlők, AC>BD.