A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre. Legyen az átmérőjű kör középpontja, a pont egyenesen lévő merőleges vetülete, pedig a -t tartalmazó ív felezőpontja.
A feladatban megadott feltételek alapján , tehát az háromszög egyenlő szárú, azaz ; így a háromszög területe: Ennek a kifejezésnek kell a maximumhelyét ill. helyeit meghatároznunk. Tekintsük először azt az esetet, amikor az szakasz belső pontja. Ekkor (1) értéke nem lehet maximális, hiszen és miatt A következőkben a másik esetet vizsgáljuk, ha a szakasz -től különböző pontja.
A kör sugarát egységnyinek választjuk. Jelöljük az szakasz hosszát -szel, amire ekkor teljesül. Írjuk fel az derékszögű háromszögre a magasságtételt: Ezt az (1) egyenletbe helyettesítve kapjuk, hogy | | (2) |
Mivel az függvény (ahol , állandó, ) szigorúan növő, ezért a fenti kifejezés pontosan akkor a legnagyobb, amikor a az. Alkalmazzuk a számtani és mértani közép közötti egyenlőtlenséget: | |
Innen látható, hogy a bal oldali kifejezés pontosan akkor maximális, amikor a tényezői egyenlőek, vagyis , esetén. Tehát az háromszög területe akkor a legnagyobb, ha az szakasz felezőpontja. |
|