Feladat: Gy.2658 Korcsoport: 14-15 Nehézségi fok: könnyű
Megoldó(k):  Bezdán Anikó ,  György András ,  Róka Dániel 
Füzet: 1991/december, 455 - 456. oldal  PDF  |  MathML 
Témakör(ök): Egyéb sokszögek geometriája, Ellenpélda, mint megoldási módszer a matematikában, Gyakorlat
Hivatkozás(ok):Feladatok: 1990/november: Gy.2658

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Nem igaz.
Tekintsük a következő ABCDE ötszöget: Legyen BEC és BED két egyenlő szárú háromszög 30∘-os szárszöggel úgy, hogy CE=EB=BD teljesüljön. Az A csúcsot válasszuk a CD szakasz felezőmerőlegesén annak a pontnak, amelyre BE=AC=AD.

 
 

A BCDE négyszög szimmetrikus trapéz, ezért CDB∢=30∘, és tudjuk, hogy BDE∢=75∘. Így a kapott konvex ötszög D csúcsánál levő szöge 105∘-os, tehát az nem szabályos. (Bár egy szimmetria tengelyt feltételeztünk.)
 

Megjegyzés. A megadott ötszög valóban konvex; ehhez elegendő megjegyeznünk, hogy CD felezőmerőlegesének bármely, a BCDE trapéz belsejében lévő pontjának C-től való távolsága legfeljebb CF. Mivel pedig CF a CBE háromszög súlyvonala, ezért kisebb a CE és CB szakaszok számtani közepénél, így azok nagyobbikánál, CE-nél is. Az A pont tehát a BCDE négyszögön kívül fekszik.