Kezdőlap


Feladat:	Gy.2657	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Décsy Gabriella , Duzmath Zsolt , György András , Németh Ákos , Szijártó Miklós
Füzet:	1991/május, 211. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Algebrai átalakítások, Számsorozatok, Gyakorlat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1990/november: Gy.2657

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Az $y_{n}$ sorozat definíciója alapján:

\begin{matrix} y_{n} & = \frac{x_{n}^{2}}{x_{n}^{2} (x_{n} + 1)} = \frac{x_{n + 1} - x_{n}}{x_{n + 1} \cdot x_{n}} = \frac{1}{x_{n}} - \frac{1}{x_{n + 1}}, másrészt \\ y_{n} & = \frac{1}{1 + x_{n}} = \frac{x_{n}}{x_{n} (1 + x_{n})} = \frac{x_{n}}{x_{n + 1}} (x_{1} > 0) . \end{matrix}

Tehát

\begin{matrix} A_{n} = (\frac{1}{x_{1}} - \frac{1}{x_{2}}) + (\frac{1}{x_{2}} - \frac{1}{x_{3}}) + ... + (\frac{1}{x_{n}} - \frac{1}{x_{n + 1}}) = \frac{1}{x_{1}} - \frac{1}{x_{n + 1}}, és hasonlóan \\ B_{n} = \frac{x_{1}}{x_{2}} \cdot \frac{x_{2}}{x_{3}} \cdot ... \cdot \frac{x_{n}}{x_{n + 1}} = \frac{x_{1}}{x_{n + 1}} . \end{matrix}

Végül pedig

\begin{matrix} 2 A_{n} + B_{n} = 2 (\frac{1}{x_{1}} - \frac{1}{x_{n + 1}}) + \frac{x_{1}}{x_{n + 1}} = (1 - \frac{2}{x_{n + 1}}) + \frac{2}{x_{n + 1}} = 1. \end{matrix}

Décsy Gabriella (Dombóvár, Illyés Gy. Gimn., I. o. t.) dolgozata alapján

Megjegyzés. A helyes dolgozatok többsége teljes indukcióval bizonyította a feladat állítását; a fenti megoldás rámutat az

y

sorozat szerkezetére: a sorozat szomszédos elemeinek összege is és szorzata is zárt alakba írható.