Rendezzük a számokat nagyság szerint növekvő sorrendbe: legyen $a_1<a_2<\text{...}<a_{19}\mathrm{.}$ Megmutatjuk, hogy már akkor is igaz a feladat állítása, ha a fenti sorban csak a szomszédos számok különbségeit vesszük figyelembe. Jelölje ezeket a különbségeket $d_i=a_{i+1}-a_i\mathrm{,}$ ahol $1\leqq i\leqq 18$. Ekkor $d_i>0$, másrészt ezeknek a különbségeknek az összege éppen a legnagyobb és a legkisebb szám különbsége, azaz $d_1+d_2+\text{...}+d_{18}=a_{19}-a_1\mathrm{.}$
Tegyük fel, hogy a $d_i$-vel jelölt különbségek között nincsen három egyenlő szám, azaz minden érték legfeljebb kétszer fordul elő közöttük. Ekkor e tizennyolc szám összege legalább akkora, mint a kilenc legkisebb pozitív egész összegének a kétszerese: $d_1+d_2+\text{...}+d_{18}\geqq 2\left(1+2+\text{...}+9\right)=90.$ Másrészt $a_1\geqq 1$ és $a_{19}\leqq 90$, ezért $d_1+d_2+\text{...}+d_{18}=a_{19}-a_1\leqq 90-1=89.$
A talált ellentmondás azt jelenti, hogy már a $d_1$, $d_2$, $\text{...}$, $d_{18}$ különbségek között is kell lennie legalább 3 egyforma számnak, a feladat állítása tehát valóban igaz.