Kezdőlap


Feladat:	Gy.2655	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Füzet:	1991/november, 389 - 390. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Algebrai átalakítások, Nevezetes azonosságok, Másodfokú (és arra visszavezethető) egyenletrendszerek, Gyakorlat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1990/november: Gy.2655

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

A három egyenlet összegéből

\begin{matrix} {(x + y + z)}^{2} = x + y + z, \end{matrix}

tehát

x + y + z = 1

, vagy

x + y + z = 0

. Az első két egyenlet különbségéből

\begin{matrix} (x - y) (x + y - 2 z - 1) = (x - y) [(x + y + z) - (3 z + 1)] = 0, \end{matrix}

(1)

a második és a harmadik egyenlet különbségéből pedig hasonlóan

\begin{matrix} (y - z) [(x + y + z) - (3 x + 1)] = 0. \end{matrix}

(2)

x + y + z = 1

, akkor (1) illetve (2) az alábbi módon alakul:

\begin{matrix} (x - y) 3 z = 0 & (3) \\ (y - z) \cdot 3 x = 0. & (4) \end{matrix}

Mivel innen

x y = y z = z x

következik, ezért, ha

x, y

és

z

egyike sem nulla, akkor egyenlők, és mivel

1

az összegük,

x = y = z = \frac{1}{3}

. Ha viszont van köztük nulla, akkor pontosan kettő van, és így a harmadik

1

. Így további három megoldást kapunk az

{x, y, z} = {0; 0; 1}

egyenlőségnek megfelelően.
Ha

x + y + z = 0

, akkor vezessük be az

\begin{matrix} x' = x + \frac{1}{3}, y' = y + \frac{1}{3}, z' = z + \frac{1}{3} \end{matrix}

ismeretleneket. Ezekre egyfelől

x' + y' + z' = 1

, másrészt (1) és (2) most az

\begin{matrix} (x' - y') \cdot 3 x' = 0 & (3') \\ (y' - z') \cdot 3 x' = 0 & (4') \end{matrix}

alakot ölti. Ez pedig éppen az első esetben kapott egyenletrendszerrel azonos. Az

x' = y' = z' = \frac{1}{3}

megoldásból most

x = y = z = 0

, a további három megoldásból pedig most az

{x, y, z} = {- \frac{1}{3}, - \frac{1}{3}; \frac{2}{3}}

egyenlőségnek megfelelő megoldásokat, kapjuk.
Az egyenletrendszernek tehát nyolc megoldása van; a következő számhármasok:

\begin{matrix} (0; 0; 0), (\frac{1}{3}; \frac{1}{3}; \frac{1}{3}), (1; 0; 0), (0; 1; 0), (0; 0; 1), (\frac{2}{3}; - \frac{1}{3}; - \frac{1}{3}), (- \frac{1}{3}; \frac{2}{3}; - \frac{1}{3}), (- \frac{1}{3}; - \frac{1}{3}; \frac{2}{3}) . \end{matrix}