A válasz: nem.
Helyezzük el a Rubik-kockát egy Descartes-féle derékszögű koordináta-rendszerben oly módon, hogy a merőleges oldalélek illeszkedjenek egy-egy tengelyre, és válasszuk a kocka egy kis négyzetének élhosszát $1$-nek Ekkor a kocka csúcsainak koordinátái $\left(x\mathrm{,}y\mathrm{,}z\right)$ alakúak, ahol $x\mathrm{,}y$ és $z$ egymástól függetlenül a $0$ és a $3$ értékeket veszik fel.
Vegyük szemügyre a koordináták megváltozását, miközben egy kis négyzet egyik csúcsából az átló mentén átlépünk a szemközti csúcsba. Mivel az átló egy lapon van, egy koordináta változatlan marad, a másik kettő pedig $1$-gyel változik: nő, vagy csökken. A koordináták összege ezért páros számmal változik.
Ha tehát összefüggő útvonalat szeretnénk készíteni az átlók mentén, akkor ehhez a lapokat borító kis négyzeteknek csak olyan csúcsait használhatjuk fel, amelyek $3$ koordinátájának összege egyező paritású. Másrészt minden ilyen csúcson át kell haladnunk, mert minden kis négyzetnek pontosan $2$ azonos paritású csúcsa van, így az adott kis négyzet átlóját a megfelelő paritású csúcspáron át kell megrajzolnunk. Ezért akár páros, akár páratlan koordinátaösszegű csúcsokon keresztül szeretnénk megrajzolni a zárt töröttvonalat, mindenképpen át kell haladnunk a kocka valamelyik csúcsán (hiszen ezek között vannak páros és páratlan koordinátaösszegű pontok is). Ez pedig lehetetlen, hiszen a kocka minden egyes csúcsa három kis négyzet csúcsa; ha egyszer áthaladunk a csúcson, akkor két kis négyzet átlóját rajzoljuk be; a harmadik átló berajzolása után viszont már nem lehet továbbhaladni. A feladatnak tehát valóban nincs megoldása.