|
Feladat: |
Gy.2648 |
Korcsoport: 16-17 |
Nehézségi fok: nehéz |
Megoldó(k): |
Botka Eszter , Csörnyei Marianna , Dienes Péter , Futó Gábor , Gefferth András , Győry Máté , Kemény Dániel , Komócsi Sándor , Kovács Gergely , Kuba András , Lente Gábor , Marx Gábor , Molnár Balázs , Párniczky Benedek , Pete Gábor , Piróth Attila , Reiff Ádám , Szeidl Ádám , Veres Gábor |
Füzet: |
1991/május,
209 - 210. oldal |
PDF | MathML |
Témakör(ök): |
Gráfok összefüggősége, Koordináta-geometria, Indirekt bizonyítási mód, Gyakorlat |
Hivatkozás(ok): | Feladatok: 1990/október: Gy.2648 |
|
A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre. A válasz: nem. Helyezzük el a Rubik-kockát egy Descartes-féle derékszögű koordináta-rendszerben oly módon, hogy a merőleges oldalélek illeszkedjenek egy-egy tengelyre, és válasszuk a kocka egy kis négyzetének élhosszát -nek Ekkor a kocka csúcsainak koordinátái alakúak, ahol és egymástól függetlenül a és a értékeket veszik fel. Vegyük szemügyre a koordináták megváltozását, miközben egy kis négyzet egyik csúcsából az átló mentén átlépünk a szemközti csúcsba. Mivel az átló egy lapon van, egy koordináta változatlan marad, a másik kettő pedig -gyel változik: nő, vagy csökken. A koordináták összege ezért páros számmal változik. Ha tehát összefüggő útvonalat szeretnénk készíteni az átlók mentén, akkor ehhez a lapokat borító kis négyzeteknek csak olyan csúcsait használhatjuk fel, amelyek koordinátájának összege egyező paritású. Másrészt minden ilyen csúcson át kell haladnunk, mert minden kis négyzetnek pontosan azonos paritású csúcsa van, így az adott kis négyzet átlóját a megfelelő paritású csúcspáron át kell megrajzolnunk. Ezért akár páros, akár páratlan koordinátaösszegű csúcsokon keresztül szeretnénk megrajzolni a zárt töröttvonalat, mindenképpen át kell haladnunk a kocka valamelyik csúcsán (hiszen ezek között vannak páros és páratlan koordinátaösszegű pontok is). Ez pedig lehetetlen, hiszen a kocka minden egyes csúcsa három kis négyzet csúcsa; ha egyszer áthaladunk a csúcson, akkor két kis négyzet átlóját rajzoljuk be; a harmadik átló berajzolása után viszont már nem lehet továbbhaladni. A feladatnak tehát valóban nincs megoldása.
Megjegyzés. A bizonyítás nem használja ki, hogy a töröttvonal nem metszheti önmagát. Ezen túl az esetleges nyílt töröttvonal kérdésére is választ ad, ha meggondoljuk, hogy mindkét féle (páros, ill. páratlan koordináta-összegű) csúcsból éppen van a kockán. A feltételezett nyílt töröttvonalnak így a fentiek szerint végpontja lenne, ami lehetetlen. Nem létezik tehát olyan nyílt töröttvonal sem, amely az átlók mentén járja be a kocka lapjait alkotó kis négyzeteket.
Reiff Ádám (Szolnok, Verseghy F. Gimn., III. o. t.) megoldása alapján |
|