Kezdőlap


Feladat:	Gy.2646	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: könnyű
Megoldó(k):	Jagos András , Veres Tamás
Füzet:	1991/szeptember, 259 - 260. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Irracionális számok és tulajdonságaik, Algebrai átalakítások, Nevező gyöktelenítése, Gyakorlat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1990/október: Gy.2646

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Ha $n = 28$ , akkor a tört nem értelmes. Ha $n \neq 28$ , akkor a tört értékét $A$ -val jelölve gyöktelenítés után kapjuk, hogy

\begin{matrix} A = \frac{14 + 2 n + 5 \sqrt[]{7 n}}{28 - n} . \end{matrix}

(1)

A

egész, akkor mivel a nevező egész, a számláló is az. Mivel

(14 + 2 n)

egész szám,

5 \sqrt[]{7 n}

is az, így

\sqrt[]{7 n}

racionális. Mivel

7 n

egész, ez csak úgy lehetséges, ha

7 n

négyzetszám, azaz

n

egy négyzetszám 7-szerese,

n = 7 k^{2}

és itt föltehető, hogy

k ≧ 0

. Ezt (1)-be helyettesítve:

\begin{matrix} A = \frac{14 + 14 k^{2} + 35 k}{28 - 7 k^{2}} = \frac{(2 k + 1) (k + 2)}{(2 - k) (2 + k)} = \frac{2 k + 1}{2 - k} = - 2 - \frac{5}{k - 2} . \end{matrix}

A

értéke pontosan akkor egész szám, ha

k - 2

‐ ami egész ‐ osztója

5

-nek. A legnagyobb abszolút értékű ilyen

k

7

, ekkor

n = 7^{3} = 343

és ekkor

A = - 3

.
Az a legnagyobb

n

egész szám tehát, amelyre a megadott kifejezés egész értékű, a

343