A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre. Megoldás. Válasszuk a négyzet oldalát 2 egységnyinek és legyen az oldal felezőpontja, és távolságát pedig jelöljük -szel. Elegendő azt az esetet vizsgálnunk, amikor , vagyis amikor az -től induló, -t tartalmazó félegyenesen mozog, mert ha az -től induló, -t tartalmazó félegyenes tetszőleges pontja, akkor -re vonatkozó tükörképe az -t tartalmazó félegyenesen mozog, és a szimmetria miatt a -t tartalmazó félegyenesre vonatkozó korlátok éppen az -t tartalmazó félegyenesre vonatkozó korlátok reciprokai.
1. ábra A és a háromszögek derékszögűek, és vagy attól függően, hogy az szakaszon van, vagy nem. Pitagorasz tétele szerint és Ezekkel
| |
A vizsgált arány értéke tehát csak a tört értékétől függ. Mivel és a tört nevezője pozitív, ezért a tört minimális értéke . Ha a maximális értéket -mel jelöljük, akkor az a legnagyobb szám, amelyre a egyenletnek van valós megoldása, az másodfokú egyenlet diszkriminánsa, nem negatív. A egyenlőtlenséget megoldva kapjuk, hogy
Tehát a tört maximális értéke így a arány legnagyobb értéke
Ezt az értéket a szóban forgó arány föl is veszi, mégpedig akkor, ha Ezért ha a pont az -t tartalmazó félegyenesen mozog, akkor
ha pedig a -t tartalmazó félegyenesen mozog, akkor
Összefoglalva:
Megjegyzések. 1) Áttekinthetőbbé válik a feladat megoldása, ha felismerjük egy, a geometriai szélsőértékfeladatok megoldása során általában is gyakran használható elv érvényesülését. Tegyük fel, hogy egy a sík pontjain értelmezett függvény ‐ jelen esetben a arány ‐ szélsőértékeit keressük egy adott görbén: ez most a négyzet oldalegyenese. Tekintsük ehhez az =állandó egyenletű görbesereg elemeit az függvény úgynevezett nívóhalmazait. Ismeretes, hogy most ezek a görbék körök ‐ a , pontokhoz tartozó ún. Apollóniusz-féle körök ‐ illetve esetben a felező merőlegese. Egy-egy ilyen vonal két részre osztja a síkot. Az egyik a körvonal belseje, a másik pedig annak külseje. (A felező merőleges esetén persze két félsíkot kapunk.) A két tartomány egyikében az értéke kisebb, másikban pedig nagyobb, mint a határoló görbén. Így az mennyiség a görbén azokban a pontokban veszi föl a szélsőértékét, ahol ennek a körseregnek ‐ az Apollóniusz-féle köröknek ‐ a megfelelő eleme -t, itt az egyenest érinti. Az érintési pont megszerkesztéséhez pedig azt kell tudnunk, hogy a szakasz felező merőlegese ‐ a egyenes ‐ azon pontok mértani helye, ahonnan a fenti körhalmazok minden egyes kör eleméhez egyenlő hosszúságú érintők húzhatók: a a körsor ún. hatványvonala. Mivel és is a körsor elemei ‐ az ún. pontkörök ‐ az pontból hosszúságú érintő húzható minden egyes Apollóniusz-féle körhöz (2. ábra).
2. ábra Az egyenest érintő körelemek érintési pontjait tehát az -re szimmetrikusan távolságra kapjuk az egyenesen. Könnyű számolással kapjuk, hogy ezekre a pontokra az arány illetve ennek reciproka. Az egyenes minden további pontja e köröknek külső pontja, így annak tetszőleges pontjára
2) Sok megoldó csak azt az esetet vizsgálta, amikor az szakaszon mozog. Ekkor a feladat megoldása némileg egyszerűbb, s a kapott korlátok a helyes eredménytől különböznek, hiszen a arány esetén veszi fel a maximumát, tehát amikor az szakaszon kívül van; ezért ezek a dolgozatok csak 2‐3 pontot érdemeltek. |